Probabilidad de sucesos y probabilidad condicionada

**a) $P(\bar{A} \cap B)$.** Antes de resolver los apartados, necesitamos conocer la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez, es decir, la intersección $P(A \cap B)$. Utilizamos la propiedad fundamental de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,8 = 0,4 + 0,6 - P(A \cap B)$$ $$0,8 = 1,0 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 1,0 - 0,8 = 0,2$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre que la probabilidad de la unión se "pasa de la raya" (suma más de $P(A \cup B)$) porque la intersección se cuenta dos veces. Por eso hay que restarla. $$\boxed{P(A \cap B) = 0,2}$$

Para visualizar mejor todos los sucesos y sus complementarios, vamos a construir una tabla de contingencia con los datos que tenemos ($P(A)=0,4$, $P(B)=0,6$ y $P(A \cap B)=0,2$): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,2 & 0,2 & 0,4 \\ \bar{A} & 0,4 & 0,2 & 0,6 \\ \hline \text{Total} & 0,6 & 0,4 & 1,0 \end{array}$$ Para completar la tabla, simplemente restamos los totales menos las celdas conocidas: - $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,4 - 0,2 = 0,2$ - $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,2 = 0,4$ - $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) - P(\bar{A} \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2$

Nos piden calcular $P(\bar{A} \cap B)$, que representa la probabilidad de que ocurra el suceso $B$ pero **no** ocurra el suceso $A$. Mirando nuestra tabla de contingencia en la fila de $\bar{A}$ y la columna de $B$, obtenemos el valor directamente: $$P(\bar{A} \cap B) = 0,4$$ También podemos hacerlo mediante la fórmula teórica: $$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,2 = 0,4$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{P(\bar{A} \cap B) = 0,4}$$

**b) $P(\bar{A} \cup B \mid A)$.** Por la definición de probabilidad condicionada, sabemos que: $$P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$ En nuestro caso, el suceso $X$ es $(\bar{A} \cup B)$ y el suceso $Y$ es $A$: $$P(\bar{A} \cup B \mid A) = \frac{P((\bar{A} \cup B) \cap A)}{P(A)}$$ 💡 **Tip:** Cuando tengas una expresión compleja en el numerador de una condicionada, intenta simplificar el conjunto usando la lógica: si sabemos que ha ocurrido $A$, ¿qué partes de $(\bar{A} \cup B)$ pueden haber ocurrido?

Vamos a simplificar la expresión del numerador $(\bar{A} \cup B) \cap A$ aplicando la propiedad distributiva: $$(\bar{A} \cup B) \cap A = (\bar{A} \cap A) \cup (B \cap A)$$ Como un suceso y su contrario no pueden ocurrir a la vez, $\bar{A} \cap A = \emptyset$ (el conjunto vacío). Por tanto: $$\emptyset \cup (B \cap A) = A \cap B$$ Esto simplifica enormemente nuestra fórmula: $$P(\bar{A} \cup B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(\bar{A} \cup B \mid A) = \frac{0,2}{0,4} = \frac{2}{4} = 0,5$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{P(\bar{A} \cup B \mid A) = 0,5}$$