Inferencia de proporciones: tamaño de muestra e intervalo de confianza

**a) Asumiendo que la proporción poblacional es $P = 0'5$, determínese el tamaño mínimo necesario de una muestra de individuos para garantizar que, con una confianza del 95 %, el margen de error en la estimación no supere el 3 % ($\pm 3$ %).** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción poblacional: - Proporción poblacional: $p = 0.5$. Por tanto, $q = 1 - p = 0.5$. - Margen de error máximo: $E = 0.03$ (es decir, el 3 %). - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ asociado al 95 % de confianza: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. 2. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que: $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. 3. Mirando en la tabla, este valor corresponde exactamente a $z_{\alpha/2} = 1.96$. 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ para el 95 % es uno de los más habituales en Selectividad. Conviene recordarlo de memoria para ganar tiempo. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula del error para la estimación de una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Queremos que $E \le 0.03$, por lo que despejamos $n$ de la desigualdad: $$0.03 \ge 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.5 \cdot 0.5}{n}}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$0.03^2 \ge 1.96^2 \cdot \frac{0.5 \cdot 0.5}{n}$$ $$0.0009 \ge 3.8416 \cdot \frac{0.25}{n}$$ $$0.0009 \ge \frac{0.9604}{n}$$ Multiplicamos por $n$ y dividimos por $0.0009$ (como son valores positivos, el sentido de la desigualdad no cambia): $$n \ge \frac{0.9604}{0.0009}$$ $$n \ge 1067.11$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error no supere el 3 %. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño de muestra, siempre redondeamos hacia arriba (hacia el entero superior), aunque el decimal sea pequeño, para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 1068 \text{ individuos}}$$

**b) Se tomó una muestra aleatoria simple de 450 individuos de los cuales 90 afirmaron que comprarían el producto. Obténgase un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de individuos que estarían dispuestos a comprar el producto.** Primero obtenemos los datos de la nueva muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 450$. - Individuos a favor: $x = 90$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{90}{450} = 0.2$. - Por tanto, $\hat{q} = 1 - 0.2 = 0.8$. Ahora calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del 90 % ($1 - \alpha = 0.90$): 1. $\alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$. 2. Buscamos $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. 3. En la tabla de la $N(0,1)$, el valor 0.95 está justo entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos la media: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Cuando una probabilidad cae exactamente en el medio de dos valores de la tabla (como 0.95 entre 1.64 y 1.65), lo más preciso es usar el valor intermedio (1.645). $$\boxed{\hat{p} = 0.2, \quad z_{\alpha/2} = 1.645}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \; \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error (margen de error): $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2 \cdot 0.8}{450}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.16}{450}} \approx 1.645 \cdot \sqrt{0.0003555} \approx 1.645 \cdot 0.018856 = 0.03102$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.2 - 0.03102 = 0.16898$ - Extremo superior: $0.2 + 0.03102 = 0.23102$ El intervalo de confianza al 90 % es $(0.16898, \; 0.23102)$. 💡 **Tip:** Es recomendable dar el resultado con al menos 4 decimales en estadística para evitar errores de redondeo excesivos. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.1690, \; 0.2310)}$$