Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) Compruébese que $B$ es la matriz inversa de $A$.** Para comprobar que una matriz $B$ es la inversa de otra matriz $A$, debemos verificar que su producto es igual a la matriz identidad $I$, es decir: $$A \cdot B = I$$ Donde $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Realizamos la multiplicación de las matrices $A$ y $B$ elemento a elemento (fila por columna): $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-8) & 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 \\ 8 \cdot 3 + 3 \cdot (-8) & 8 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ Operamos los resultados: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -3 + 3 \\ 24 - 24 & -8 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como el resultado es la matriz identidad $I$, queda demostrado que $B$ es la inversa de $A$. 💡 **Tip:** Recuerda que la definición de matriz inversa indica que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$. Si el producto en un orden da la identidad, en el otro también lo dará para matrices cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = A^{-1}}$$

**b) Calcúlese la matriz $X$ tal que $A \cdot X = B$.** Para despejar la matriz $X$ en la ecuación $A \cdot X = B$, debemos eliminar la matriz $A$ que multiplica por la izquierda. Para ello, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$$ Usando la propiedad asociativa: $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$X = A^{-1} \cdot B$$ Como en el apartado anterior hemos comprobado que **$A^{-1} = B$**, podemos sustituir este valor en nuestra ecuación: $$X = B \cdot B = B^2$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado! En álgebra de matrices, el orden de la multiplicación importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado del igual, debes multiplicar por la izquierda en el otro.

Calculamos la matriz $X$ realizando el producto $B \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + (-1) \cdot (-8) & 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ -8 \cdot 3 + 3 \cdot (-8) & -8 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 9 + 8 & -3 - 3 \\ -24 - 24 & 8 + 9 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 17 & -6 \\ -48 & 17 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 17 & -6 \\ -48 & 17 \end{pmatrix}}$$