Programación lineal: Región factible y optimización

**a) Represéntese la región $S$ y calcúlense las coordenadas de sus vértices.** Para representar la región factible $S$, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para obtener las fronteras: 1. $r_1: x + y = 50$ 2. $r_2: 2x + y = 80$ 3. $r_3: x = 0$ (Eje $Y$) 4. $r_4: y = 0$ (Eje $X$) Calculamos un par de puntos para cada una de las dos primeras rectas: - Para $r_1$, si $x=0 \implies y=50$. Si $y=0 \implies x=50$. Puntos: $(0, 50)$ y $(50, 0)$. - Para $r_2$, si $x=0 \implies y=80$. Si $y=0 \implies x=40$. Puntos: $(0, 80)$ y $(40, 0)$. 💡 **Tip:** Para representar una recta, lo más sencillo es buscar los puntos de corte con los ejes coordenados dándole valor $0$ a la $x$ y a la $y$ sucesivamente.

Los vértices de la región $S$ se encuentran en las intersecciones de las rectas que delimitan la zona que cumple todas las restricciones ($x \ge 0$ e $y \ge 0$ nos sitúan en el primer cuadrante). 1. **Vértice $O$ (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. $\boxed{O(0, 0)}$ 2. **Vértice $A$:** Intersección de $x=0$ con $r_1$. Vemos que para $x=0$ en $r_1$ obtenemos $y=50$. Comprobamos que cumple $r_2$: $2(0)+50 = 50 \le 80$ (Correcto). $\boxed{A(0, 50)}$ 3. **Vértice $B$:** Intersección de $y=0$ con $r_2$. Vemos que para $y=0$ en $r_2$ obtenemos $2x=80 \implies x=40$. Comprobamos que cumple $r_1$: $40+0 = 40 \le 50$ (Correcto). $\boxed{B(40, 0)}$ 4. **Vértice $C$:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + y = 50 \\ 2x + y = 80 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $(2x - x) + (y - y) = 80 - 50 \implies x = 30$. Sustituimos $x$ en la primera: $30 + y = 50 \implies y = 20$. $\boxed{C(30, 20)}$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos "esquina" de la región sombreada. Asegúrate siempre de que el punto calculado cumple todas las inecuaciones del enunciado.

A continuación se muestra la representación gráfica de la región factible $S$, que es el polígono convexo formado por los vértices hallados.

**b) Obténgase el valor máximo de la función $f(x, y) = 5x + 4y$ en la región $S$, indicando el punto en el cual se alcanza dicho valor máximo.** Para encontrar el máximo de la función objetivo $f(x, y) = 5x + 4y$, evaluamos la función en cada uno de los vértices de la región factible $S$: - En $O(0, 0)$: $f(0, 0) = 5(0) + 4(0) = 0$ - En $A(0, 50)$: $f(0, 50) = 5(0) + 4(50) = 200$ - En $B(40, 0)$: $f(40, 0) = 5(40) + 4(0) = 200$ - En $C(30, 20)$: $f(30, 20) = 5(30) + 4(20) = 150 + 80 = 230$ Comparando los resultados, el valor más alto es $230$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo y el mínimo de una función lineal sobre una región poligonal acotada se encuentran en sus vértices. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El valor máximo es 230 y se alcanza en el punto } C(30, 20)}$$