Continuidad y derivada de una función definida a trozos

**a) Estúdiese si $f(x)$ es continua en $x = 2$.** Para que la función $f(x)$ sea continua en el punto de salto entre ramas ($x=2$), deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(2)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$. Primero, calculamos el valor de la función en $x=2$ usando la primera rama (donde está el símbolo $\le$): $$f(2) = \frac{2+2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4.$$ Ahora calculamos el límite por la izquierda ($x \lt 2$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = 4.$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si puedes dibujarla sin levantar el lápiz del papel en ese entorno.

Calculamos el límite por la derecha ($x \gt 2$) utilizando la segunda rama de la función: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{3x^2-2x}{x+2} = \frac{3(2)^2 - 2(2)}{2+2} = \frac{12-4}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$ Observamos que los límites laterales son finitos pero distintos: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2.$$ Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite global en $x=2$. Esto implica que la función presenta una discontinuidad de salto finito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ no es continua en } x = 2}$$

**b) Calcúlese la función derivada de $f(x)$ para $x < 2$.** Para el intervalo $x \lt 2$, la función viene definida por la expresión racional: $$f(x) = \frac{x+2}{x-1}$$ Para derivarla, aplicamos la regla del cociente: si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, entonces $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$. Identificamos los términos: - $u(x) = x+2 \implies u'(x) = 1$ - $v(x) = x-1 \implies v'(x) = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+2) \cdot 1}{(x-1)^2}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el signo menos delante del paréntesis al simplificar el numerador.

Operamos en el numerador para simplificar la expresión: $$f'(x) = \frac{x - 1 - (x + 2)}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-3}{(x-1)^2}$$ Esta derivada es válida para todo el dominio de la primera rama excepto en el punto donde se anula el denominador ($x=1$), pero como el enunciado pide la derivada para $x \lt 2$, debemos indicar el resultado final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{-3}{(x-1)^2} \text{ para } x \lt 2, x \neq 1}$$