Inferencia estadística y distribución de la media muestral

**a) Determínese el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de 0’25 gramos con un nivel de confianza del 95 %.** Primero identificamos los datos proporcionados para el estudio de la media de una población normal $N(\mu, \sigma)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,5$ - Error máximo permitido: $E \le 0,25$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 95 %: 1. Si $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. 2. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,9750$$ Consultando la tabla, encontramos que el valor exacto para $0,9750$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95 % es muy habitual en los exámenes (1,96). Si el nivel de confianza fuera del 99 %, el valor sería 2,575.

Utilizamos la fórmula del error máximo para la estimación de la media: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0,25$, por lo que sustituimos los valores conocidos y despejamos $n$: $$1,96 \cdot \frac{0,5}{\sqrt{n}} \le 0,25$$ Multiplicamos en cruz para despejar la raíz: $$\frac{1,96 \cdot 0,5}{0,25} \le \sqrt{n}$$ $$3,92 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$n \ge (3,92)^2$$ $$n \ge 15,3664$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y el error debe ser "como mucho" de 0,25 (a mayor $n$, menor error), redondeamos siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 16 \text{ sobres}}$$

**b) Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 25 sobres, la media muestral, $\bar{X}$, pese más de 12’25 gramos, sabiendo que $\mu = 12$ gramos.** Sabemos que si la población sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos del apartado b): - Media poblacional: $\mu = 12$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,5$ - Tamaño muestral: $n = 25$ Calculamos la desviación típica de la media muestral (error típico): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{0,5}{\sqrt{25}} = \frac{0,5}{5} = 0,1$$ Por tanto, la variable media muestral se distribuye como: $$\bar{X} \sim N(12, \, 0,1)$$ 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de la población ($\sigma$) con la de la media muestral ($\sigma/\sqrt{n}$). Esta última siempre es más pequeña a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 12,25)$. Para usar las tablas de la normal, tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(\bar{X} \gt 12,25) = P\left(Z \gt \frac{12,25 - 12}{0,1}\right)$$ $$P(\bar{X} \gt 12,25) = P\left(Z \gt \frac{0,25}{0,1}\right) = P(Z \gt 2,5)$$ Como las tablas muestran la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 2,5) = 1 - P(Z \le 2,5)$$ Buscamos el valor $2,5$ en la tabla $N(0,1)$: $$P(Z \le 2,5) = 0,9938$$ Finalmente: $$1 - 0,9938 = 0,0062$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 12,25) = 0,0062}$$ (Esto significa que hay una probabilidad del 0,62 % de que la media de la muestra supere los 12,25 gramos).