Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discútase en función de los valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 1 \\ a & 1 & a - 1 & a \\ 1 & 1 & 1 & a + 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que debemos calcular el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot (a-1) \cdot 1) + (1 \cdot a \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (a-1) \cdot 1) + (a \cdot a \cdot 1) ]$$ Operamos los términos: $$|A| = 1 + a^2 - a + a - [ 1 + a - 1 + a^2 ]$$ $$|A| = 1 + a^2 - [ a + a^2 ] = 1 + a^2 - a - a^2 = 1 - a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** El rango de la matriz $A$ será 3 siempre que el determinante sea distinto de cero.

Si **$a \neq 1$**, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - El número de incógnitas es $n = 3$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, al coincidir los rangos con el número de incógnitas, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD). Solución única.}}$$

Si **$a = 1$**, las matrices quedan de la siguiente forma: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ **Rango de A:** Sabemos que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ **Rango de A*:** Ampliamos el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 + 1 + 1) - (0 + 1 + 2) = 2 - 3 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, $\text{rango}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1: \text{ Sistema Incompatible (SI). No tiene solución.}}$$

**b) Resuélvase para $a = 3$.** Como $a = 3 \neq 1$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. Sustituimos $a=3$ en el sistema original: $$\left. \begin{array}{r} x + 3y + z = 1 \\ 3x + y + 2z = 3 \\ x + y + z = 4 \end{array} \right\}$$ Podemos resolverlo por el método de Gauss. Escribimos la matriz ampliada: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales entre filas: 1. $F_2 \leftarrow F_2 - 3F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ 2. $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -8 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 3 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El método de Gauss consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal para obtener un sistema escalonado más sencillo de resolver.

A partir de la matriz escalonada, recuperamos las ecuaciones empezando por la última: De la tercera fila: $$-2y = 3 \implies \mathbf{y = -\frac{3}{2}}$$ De la segunda fila: $$-8y - z = 0 \implies -8\left(-\frac{3}{2}\right) - z = 0 \implies 12 - z = 0 \implies \mathbf{z = 12}$$ De la primera fila: $$x + 3y + z = 1 \implies x + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 12 = 1$$ $$x - \frac{9}{2} + 12 = 1 \implies x + \frac{15}{2} = 1$$ $$x = 1 - \frac{15}{2} = \frac{2 - 15}{2} \implies \mathbf{x = -\frac{13}{2}}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -\frac{13}{2}, \ y = -\frac{3}{2}, \ z = 12}$$