Estudio de una función racional: Asíntotas y Monotonía

**a) Calcúlense el dominio y las asíntotas de $f(x)$.** Para calcular el dominio de una función racional, debemos identificar los valores de $x$ que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Igualamos el denominador a cero: $$(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, el dominio son todos los números reales excepto el $-1$. 💡 **Tip:** El dominio de las funciones racionales $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ es $\mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} : Q(x)=0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Estudiamos el límite en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3}{(x+1)^2} = \frac{(-1)^3}{0^+} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Como el límite tiende a infinito, existe una asíntota vertical en la recta de ecuación: ✅ **Resultado (A. Vertical):** $$\boxed{x = -1}$$

**Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2+2x+1} = \pm\infty$$ Como el límite no es un valor finito, **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas ($y = mx + n$):** Como el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x+1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3+2x^2+x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{(x+1)^2} - x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2+2x+1)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 - 2x^2 - x}{x^2+2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2 - x}{x^2+2x+1} = -2$$ 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^3$ entre $x^2+2x+1$. El cociente es la asíntota. ✅ **Resultado (A. Oblicua):** $$\boxed{y = x - 2}$$

**b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2) \cdot (x+1)^2 - x^3 \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x+1)$: $$f'(x) = \frac{3x^2(x+1) - 2x^3}{(x+1)^3} = \frac{3x^3 + 3x^2 - 2x^3}{(x+1)^3} = \frac{x^3 + 3x^2}{(x+1)^3}$$ Factorizamos el numerador: $$f'(x) = \frac{x^2(x+3)}{(x+1)^3}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Siempre intenta simplificar factores comunes antes de desarrollar todo.

Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: $$\frac{x^2(x+3)}{(x+1)^3} = 0 \implies x^2(x+3) = 0 \implies x = 0, \quad x = -3$$ Dividimos la recta real usando estos puntos y el valor donde la función no existe ($x = -1$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty)\\\hline x^2 & + & 0 & + & + & + & 0 & + \\ x+3 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ (x+1)^3 & - & - & - & 0 & + & + & + \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + & 0 & + \end{array}$$ Analizando los signos: - En $(-\infty, -3)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ **crece**. - En $(-3, -1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f(x)$ **decrece**. - En $(-1, 0)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ **crece**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f(x)$ **crece**. 💡 **Tip:** Aunque $f'(0)=0$, como la derivada es positiva a ambos lados, la función sigue creciendo en ese punto (es un punto de inflexión con tangente horizontal). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Crecimiento: } (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \\ &\text{Decrecimiento: } (-3, -1) \end{aligned}}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función, donde se pueden observar sus asíntotas (vertical en $x=-1$ y oblicua en $y=x-2$) y los cambios de monotonía calculados.