Área de un recinto y recta tangente

**a) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX.** Para hallar el área del recinto limitado por la función y el eje OX (eje de abscisas), primero debemos encontrar los puntos donde la gráfica corta a dicho eje. Esto ocurre cuando $f(x) = 0$: $$2x^3 - 5x^2 + 3x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(2x^2 - 5x + 3) = 0$$ De aquí obtenemos la primera solución: **$x_1 = 0$**. Para las otras dos, resolvemos la ecuación de segundo grado $2x^2 - 5x + 3 = 0$: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$$ Esto nos da: - $x_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$ - $x_3 = \frac{4}{4} = 1$ Los puntos de corte son **$x = 0$**, **$x = 1$** y **$x = 1,5$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje OX dividen el intervalo de integración. El área total será la suma de las áreas absolutas de cada recinto formado entre estos puntos.

Los puntos de corte dividen el eje OX en dos recintos acotados: $[0, 1]$ y $[1, 1,5]$. Evaluamos el signo de la función en cada intervalo para saber si la gráfica está por encima o por debajo del eje: - En el intervalo $(0, 1)$, tomamos $x = 0,5$: $f(0,5) = 2(0,5)^3 - 5(0,5)^2 + 3(0,5) = 0,25 - 1,25 + 1,5 = 0,5 > 0$ (gráfica por encima). - En el intervalo $(1, 1,5)$, tomamos $x = 1,25$: $f(1,25) = 2(1,25)^3 - 5(1,25)^2 + 3(1,25) = 3,90625 - 7,8125 + 3,75 = -0,15625 < 0$ (gráfica por debajo). $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1, 1,5)\\\hline f(x) & + & 0 & - \end{array}$$ El área total será: $$A = \int_{0}^{1} f(x) dx + \left| \int_{1}^{1,5} f(x) dx \right|$$

Calculamos primero la primitiva de la función $f(x)$: $$F(x) = \int (2x^3 - 5x^2 + 3x) dx = 2\frac{x^4}{4} - 5\frac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} + C$$ Simplificando: $$F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de integración para potencias es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la Regla de Barrow en cada intervalo: **Recinto 1 ($x=0$ a $x=1$):** $$\int_{0}^{1} f(x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{3} + \frac{3}{2} \right) - 0 = \frac{3 - 10 + 9}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} u^2$$ **Recinto 2 ($x=1$ a $x=1,5$):** Para $x = 1,5 = \frac{3}{2}$: $$F(1,5) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^4 - \frac{5}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 + \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{81}{16} - \frac{5}{3}\cdot\frac{27}{8} + \frac{3}{2}\cdot\frac{9}{4} = \frac{81}{32} - \frac{45}{8} + \frac{27}{8} = \frac{81}{32} - \frac{18}{8} = \frac{81-72}{32} = \frac{9}{32}$$ $$\int_{1}^{1,5} f(x) dx = F(1,5) - F(1) = \frac{9}{32} - \frac{1}{3} = \frac{27 - 32}{96} = -\frac{5}{96}$$ Área total: $$A = \frac{1}{3} + \left| -\frac{5}{96} \right| = \frac{1}{3} + \frac{5}{96} = \frac{32 + 5}{96} = \frac{37}{96}$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = \frac{37}{96} \approx 0,3854 \text{ unidades}^2}$$

**b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos la imagen de la función en $x = 0$: $$f(0) = 2(0)^3 - 5(0)^2 + 3(0) = 0$$ El punto de tangencia es **$(0, 0)$**. 2. Calculamos la derivada de la función para hallar la pendiente: $$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$$ 3. Evaluamos la derivada en $x = 0$ para obtener la pendiente $m$: $$m = f'(0) = 6(0)^2 - 10(0) + 3 = 3$$ 4. Sustituimos en la fórmula de la recta: $$y - 0 = 3(x - 0) \implies y = 3x$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en ese punto. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = 3x}$$