Probabilidad y Estadística 2018 Madrid
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Situación laboral
Ejercicio 4. (Calificación máxima: 2 puntos)
En una comunidad de vecinos en el 70 % de los buzones aparece en primer lugar un nombre masculino y en el 30 % restante un nombre femenino. En dicha comunidad, la probabilidad de que un hombre trabaje es de 0’8 y la probabilidad de que lo haga una mujer es 0’7. Se elige un buzón al azar, calcúlese la probabilidad de que el primer nombre en el buzón corresponda a:
a) Una persona que trabaja.
b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del diagrama de árbol
**a) Una persona que trabaja.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $M$: El primer nombre en el buzón es masculino.
- $F$: El primer nombre en el buzón es femenino.
- $T$: La persona trabaja.
- $\bar{T}$: La persona no trabaja.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(M) = 0.7$
- $P(F) = 0.3$
- $P(T|M) = 0.8$ (Probabilidad de trabajar sabiendo que es hombre)
- $P(T|F) = 0.7$ (Probabilidad de trabajar sabiendo que es mujer)
Representamos estos datos en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que una persona trabaje (Probabilidad Total)
Para hallar la probabilidad de que una persona trabaje, $P(T)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso $T$ puede ocurrir a través de dos ramas distintas (que sea hombre o que sea mujer).
La fórmula es:
$$P(T) = P(M) \cdot P(T|M) + P(F) \cdot P(T|F)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(T) = 0.7 \cdot 0.8 + 0.3 \cdot 0.7$$
$$P(T) = 0.56 + 0.21 = 0.77$$
💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de un suceso final es la suma de los productos de las probabilidades de las ramas que conducen a él.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(T) = 0.77}$$
La probabilidad de que la persona elegida trabaje es del **77 %**.
Paso 3
Cálculo de la probabilidad de que sea hombre sabiendo que trabaja (Teorema de Bayes)
**b) Un hombre, sabiendo que es de una persona que trabaja.**
En este apartado se nos pide una probabilidad a posteriori: conocemos el resultado final (la persona trabaja) y queremos saber la probabilidad de que provenga de una rama específica (hombre). Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula aplicada a nuestro caso es:
$$P(M|T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{P(M) \cdot P(T|M)}{P(T)}$$
Ya conocemos todos los valores necesarios:
- $P(M \cap T) = 0.7 \cdot 0.8 = 0.56$
- $P(T) = 0.77$ (calculado en el apartado anterior)
Realizamos la operación:
$$P(M|T) = \frac{0.56}{0.77}$$
Simplificamos la fracción dividiendo ambos términos por $0.07$ (o multiplicando por 100 y simplificando):
$$P(M|T) = \frac{56}{77} = \frac{8}{11} \approx 0.7273$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de la 'intersección' de la rama deseada entre la 'probabilidad total' del suceso condicionante.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|T) = \frac{8}{11} \approx 0.7273}$$