Intervalo de confianza y distribución de la media muestral

**a) Se toma una muestra aleatoria simple de 40 horas, obteniéndose una media muestral de 99’5 descargas. Determínese un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (descargas por hora): - Distribución poblacional: $N(\mu, \sigma = 20)$. - Tamaño de la muestra: $n = 40$. - Media muestral: $\bar{x} = 99,5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Como el nivel de confianza es del $95\%$, calculamos $\alpha$: $$1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,025$$ Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ Mirando en la tabla, el valor exacto para $0,975$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$ es siempre $1,96$. Es uno de los valores más comunes junto al del $90\%$ ($1,645$) y $99\%$ ($2,575$).

La fórmula del error máximo admisible para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1,96 \cdot \frac{20}{\sqrt{40}} = 1,96 \cdot \frac{20}{6,3246} \approx 1,96 \cdot 3,1623 = 6,198$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Calculamos los extremos: - Límite inferior: $99,5 - 6,198 = 93,302$ - Límite superior: $99,5 + 6,198 = 105,698$ 💡 **Tip:** El error indica cuánto nos podemos alejar de la media muestral para asegurar con un $95\%$ de probabilidad que la media real $\mu$ está ahí dentro. ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{IC = (93,302; 105,698)}$$

**b) Supóngase que $\mu = 100$ descargas. Calcúlese la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 horas, la media muestral, $\bar{X}$, esté entre 100 y 110 descargas.** En este apartado, nos piden trabajar con la variable **media muestral** $\bar{X}$. Sabemos que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, entonces la media de las muestras de tamaño $n$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Datos para este apartado: - $\mu = 100$ - $\sigma = 20$ - $n = 10$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{20}{\sqrt{10}} = \frac{20}{3,1623} \approx 6,3246$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(100; 6,3246)$.

Queremos hallar $P(100 \lt \bar{X} \lt 110)$. Para ello, tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$: $$P\left(\frac{100 - 100}{6,3246} \lt Z \lt \frac{110 - 100}{6,3246}\right)$$ $$P(0 \lt Z \lt 1,5811)$$ Redondeamos a dos decimales para usar la tabla de la normal estándar: $P(0 \lt Z \lt 1,58)$. Operamos con las probabilidades: $$P(0 \lt Z \lt 1,58) = P(Z \lt 1,58) - P(Z \lt 0)$$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$: - $P(Z \lt 1,58) = 0,9429$ - $P(Z \lt 0) = 0,5$ (la normal es simétrica respecto al cero) Realizamos la resta: $$0,9429 - 0,5 = 0,4429$$ 💡 **Tip:** Al tipificar, siempre restamos la media y dividimos por la desviación típica de la variable que estemos usando (en este caso, la de la media muestral). ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(100 \lt \bar{X} \lt 110) = 0,4429}$$