Optimización en recintos y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Se considera el recinto cuadrado de vértices $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ y $(0, -1)$. Indique en qué puntos del recinto se alcanzan el valor máximo de la función $F(x, y) = 3x + 2y + 7$ y el valor mínimo de la función $G(x, y) = x + y + 6$, calculando dichos valores.** El recinto es un cuadrado cuyos vértices son: - $V_1(1, 0)$ - $V_2(0, 1)$ - $V_3(-1, 0)$ - $V_4(0, -1)$ Como las funciones $F(x, y)$ y $G(x, y)$ son funciones lineales, sus valores máximos y mínimos absolutos dentro de un recinto poligonal cerrado deben alcanzarse en los vértices del mismo o en los segmentos que los unen. 💡 **Tip:** En programación lineal, si una función objetivo alcanza su valor óptimo en dos vértices contiguos, también lo alcanza en todos los puntos del segmento que los une.

Evaluamos $F(x, y) = 3x + 2y + 7$ en cada uno de los vértices: - En $V_1(1, 0): F(1, 0) = 3(1) + 2(0) + 7 = 3 + 0 + 7 = 10$ - En $V_2(0, 1): F(0, 1) = 3(0) + 2(1) + 7 = 0 + 2 + 7 = 9$ - En $V_3(-1, 0): F(-1, 0) = 3(-1) + 2(0) + 7 = -3 + 0 + 7 = 4$ - En $V_4(0, -1): F(0, -1) = 3(0) + 2(-1) + 7 = 0 - 2 + 7 = 5$ Comparando los valores obtenemos que el valor máximo es $10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El valor máximo de } F(x, y) \text{ es } 10 \text{ y se alcanza en el punto } (1, 0)}$$

Evaluamos $G(x, y) = x + y + 6$ en cada uno de los vértices: - En $V_1(1, 0): G(1, 0) = 1 + 0 + 6 = 7$ - En $V_2(0, 1): G(0, 1) = 0 + 1 + 6 = 7$ - En $V_3(-1, 0): G(-1, 0) = -1 + 0 + 6 = 5$ - En $V_4(0, -1): G(0, -1) = 0 - 1 + 6 = 5$ El valor mínimo es $5$. Como este valor se repite en los vértices contiguos $V_3(-1, 0)$ y $V_4(0, -1)$, la función alcanza ese mínimo en todos los puntos del segmento que los une. La ecuación del segmento que une $(-1, 0)$ y $(0, -1)$ es la recta $x + y = -1$ para $x \in [-1, 0]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El valor mínimo de } G(x, y) \text{ es } 5 \text{ y se alcanza en todos los puntos del segmento que une } (-1, 0) \text{ y } (0, -1)}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $(A - A^t) \cdot X = B$, siendo $A$ y $B$ las matrices $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.** Primero, calculamos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $M = A - A^t$: $$M = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-5 & -2-3 \\ 3-(-2) & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En una resta de matrices, restamos elemento a elemento la misma posición: $(a_{ij} - b_{ij})$.

Para resolver $M \cdot X = B$, despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $M$: $$X = M^{-1} \cdot B$$ Primero calculamos el determinante $|M|$: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0) - (5 \cdot (-5)) = 0 + 25 = 25$$ Como $|M| \neq 0$, existe la matriz inversa $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^t$. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: - $adj(0) = 0$ - $adj(-5) = -5$ - $adj(5) = -(-5) = 5$ - $adj(0) = 0$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}$$ $$M^{-1} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/5 \\ -1/5 & 0 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1/5 \\ -1/5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - $x_{11} = 0(-1) + \frac{1}{5}(2) = \frac{2}{5}$ - $x_{12} = 0(3) + \frac{1}{5}(-1) = -\frac{1}{5}$ - $x_{21} = -\frac{1}{5}(-1) + 0(2) = \frac{1}{5}$ - $x_{22} = -\frac{1}{5}(3) + 0(-1) = -\frac{3}{5}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2/5 & -1/5 \\ 1/5 & -3/5 \end{pmatrix}}$$