Cálculo de parámetros y estudio de monotonía y curvatura

**a) (0.8 puntos) Halle $a$ y $b$ de forma que $f$ tenga un extremo relativo en $x = 1$ y la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 0$ tenga pendiente $m = -1$.** Para resolver este apartado, primero necesitamos calcular la derivada de la función $f(x)$, ya que tanto la existencia de un extremo relativo como la pendiente de la recta tangente dependen de $f'(x)$. Dada $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$, su derivada es: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ Ahora planteamos las condiciones dadas en el enunciado: 1. **Extremo relativo en $x = 1$**: Esto significa que la derivada en ese punto debe ser cero. $$f'(1) = 0$$ 2. **Pendiente de la recta tangente en $x = 0$ igual a $-1$**: La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. $$f'(0) = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es derivable, en sus extremos relativos (máximos o mínimos) la pendiente de la recta tangente es horizontal, es decir, $f'(x) = 0$.

Sustituimos los valores en la expresión de la derivada $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$: De la segunda condición $f'(0) = -1$: $$3(0)^2 + 2a(0) + b = -1 \implies b = -1$$ Ahora, usamos el valor de $b = -1$ en la primera condición $f'(1) = 0$: $$3(1)^2 + 2a(1) + (-1) = 0$$ $$3 + 2a - 1 = 0$$ $$2a + 2 = 0 \implies 2a = -2 \implies a = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = -1}$$ La función resultante es $f(x) = x^3 - x^2 - x + 1$.

**b) (1.7 puntos) Para $a = -1$ y $b = -1$, estudie la monotonía y la curvatura de la función $f$.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), utilizamos la primera derivada con los valores hallados: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$. Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$3x^2 - 2x - 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/3) & -1/3 & (-1/3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1/3)$, tomamos $x=-1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 4 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(-1/3, 1)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = -1 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(1, +\infty)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 7 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, -1/3) \cup (1, +\infty) \text{ y Decreciente en } (-1/3, 1)}$$

Para la curvatura (concavidad y convexidad), calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = (3x^2 - 2x - 1)' = 6x - 2$$ Buscamos los posibles puntos de inflexión igualando a cero: $$6x - 2 = 0 \implies 6x = 2 \implies x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1/3) & 1/3 & (1/3, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - En $(-\infty, 1/3)$, tomamos $x=0$: $f''(0) = -2 \lt 0$ (**Cóncava hacia abajo / Convexa**). - En $(1/3, +\infty)$, tomamos $x=1$: $f''(1) = 4 \gt 0$ (**Cóncava hacia arriba / Cóncava**). 💡 **Tip:** En algunos libros se usa "convexa" para $\cap$ y "cóncava" para $\cup$. Asegúrate de usar la terminología de tu clase. ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Cóncava hacia abajo en } (-\infty, 1/3) \text{ y Cóncava hacia arriba en } (1/3, +\infty)}$$