Probabilidad condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos y organizamos la información en un diagrama de árbol. Definimos los sucesos relativos al sabor del zumo: - $N$: La botella es de zumo de naranja. - $P$: La botella es de zumo de piña. - $M$: La botella es de zumo de melocotón. Definimos los sucesos relativos al tamaño de la botella: - $2L$: La botella es de 2 litros. - $1L$: La botella es de 1 litro. Datos del enunciado: - $P(N) = 0,60$ - $P(P) = 0,30$ - $P(M) = 1 - (0,60 + 0,30) = 0,10$ - $P(2L|N) = 0,80 \implies P(1L|N) = 0,20$ - $P(2L|P) = 0,70 \implies P(1L|P) = 0,30$ - $P(1L|M) = 0,60 \implies P(2L|M) = 0,40$ Representamos estos datos en un diagrama de árbol:

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la botella sea de 2 litros.** Para calcular la probabilidad de que una botella sea de 2 litros, $P(2L)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de obtener una botella de 2 litros para cada uno de los tres sabores: $$P(2L) = P(N) \cdot P(2L|N) + P(P) \cdot P(2L|P) + P(M) \cdot P(2L|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(2L) = (0,6 \cdot 0,8) + (0,3 \cdot 0,7) + (0,1 \cdot 0,4)$$ $$P(2L) = 0,48 + 0,21 + 0,04 = 0,73$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (ser de 2 litros) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (naranja, piña o melocotón). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2L) = 0,73}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el zumo sea de naranja, sabiendo que la botella es de 2 litros.** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que sea de naranja ($N$) dado que ya sabemos que la botella es de 2 litros ($2L$). Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(N|2L) = \frac{P(N \cap 2L)}{P(2L)} = \frac{P(N) \cdot P(2L|N)}{P(2L)}$$ Utilizamos el valor de $P(2L)$ calculado en el apartado anterior: $$P(N|2L) = \frac{0,6 \cdot 0,8}{0,73} = \frac{0,48}{0,73}$$ Para dar el resultado en forma decimal: $$P(N|2L) \approx 0,6575$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad: conocemos $P(2L|N)$ y queremos hallar $P(N|2L)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|2L) = \frac{48}{73} \approx 0,6575}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que el zumo sea de melocotón, sabiendo que la botella es de 1 litro.** Se trata de otra probabilidad condicionada: $P(M|1L)$. Aplicamos de nuevo el Teorema de Bayes: $$P(M|1L) = \frac{P(M \cap 1L)}{P(1L)}$$ Primero, calculamos $P(1L)$. Como una botella o es de 2 litros o es de 1 litro, son sucesos contrarios: $$P(1L) = 1 - P(2L) = 1 - 0,73 = 0,27$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(M|1L) = \frac{P(M) \cdot P(1L|M)}{P(1L)} = \frac{0,1 \cdot 0,6}{0,27}$$ $$P(M|1L) = \frac{0,06}{0,27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$ En formato decimal: $$P(M|1L) \approx 0,2222$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|1L) = \frac{2}{9} \approx 0,2222}$$