Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Halle, con un nivel de confianza del $90 \%$, un intervalo para estimar la proporción.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 60$ - Número de empleados que usan lentillas: $x = 16$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ y su complementario $\hat{q}$: $$\hat{p} = \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \approx 0.2667$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.2667 = 0.7333$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de éxitos en nuestra muestra, y $\hat{q}$ el de fracasos. Ambos deben sumar siempre 1. $$\boxed{\hat{p} \approx 0.2667, \quad \hat{q} \approx 0.7333}$$

Para un nivel de confianza del $90 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a una distribución Normal $N(0,1)$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$ 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.05$ 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, vemos que para una probabilidad de $0.95$, el valor se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más habituales son $1.645$ para el $90 \%$, $1.96$ para el $95 \%$ y $2.575$ para el $99 \%$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2667 \cdot 0.7333}{60}}$$ $$E = 1.645 \cdot \sqrt{0.003259} = 1.645 \cdot 0.0571 \approx 0.0939$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.2667 - 0.0939 = 0.1728$ - Límite superior: $0.2667 + 0.0939 = 0.3606$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = (0.1728, \, 0.3606)}$$

**b) (1 punto) Con el mismo nivel de confianza del apartado anterior y manteniendo la misma proporción muestral, determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido en la estimación de la proporción sea inferior a 0.1.** El enunciado nos pide que el error $E$ sea menor que $0.1$ ($E \lt 0.1$). Utilizamos la fórmula del error y despejamos $n$: $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt 0.1$$ Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 1.645$, $\hat{p} = 0.2667$, $\hat{q} = 0.7333$): $$1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2667 \cdot 0.7333}{n}} \lt 0.1$$ Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz: $$\frac{1.645^2 \cdot 0.2667 \cdot 0.7333}{n} \lt 0.1^2$$ $$\frac{2.7060 \cdot 0.1956}{n} \lt 0.01$$ $$\frac{0.5293}{n} \lt 0.01$$ Despejamos $n$: $$n \gt \frac{0.5293}{0.01} = 52.93$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 0.1, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como .01), siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea menor al solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 53 \text{ empleados}}$$