Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuación matricial

**a) (1.5 puntos) ¿Tiene inversa la matriz $A \cdot B - C$? Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, calcule $(A \cdot B - C)^{-1}$.** En primer lugar, calculamos el producto $A \cdot B$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $B$ es de $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz de dimensión $2 \times 2$. $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Fila 1 × Columna 1: $(0 \cdot 2) + (1 \cdot (-2)) + ((-1) \cdot 0) = 0 - 2 + 0 = -2$ - Fila 1 × Columna 2: $(0 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + ((-1) \cdot 1) = 0 + 1 - 1 = 0$ - Fila 2 × Columna 1: $(2 \cdot 2) + ((-1) \cdot (-2)) + (0 \cdot 0) = 4 + 2 + 0 = 6$ - Fila 2 × Columna 2: $(2 \cdot 0) + ((-1) \cdot 1) + (0 \cdot 1) = 0 - 1 + 0 = -1$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}$$

Ahora restamos la matriz $C$ al resultado obtenido anteriormente. Llamaremos $M$ a la matriz resultante: $$M = A \cdot B - C = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ Restamos elemento a elemento: $$M = \begin{pmatrix} -2 - 1 & 0 - 2 \\ 6 - 2 & -1 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices, estas deben tener la misma dimensión y se opera elemento a elemento. $$\boxed{M = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}}$$

Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 2) - (-2 \cdot 4) = -6 - (-8) = -6 + 8 = 2$$ Como $|M| = 2 \neq 0$, la matriz $M = A \cdot B - C$ **sí tiene inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es no nulo.

Calculamos $M^{-1}$ usando la fórmula: $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot (Adj(M))^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(M)$: - $A_{11} = 2$ - $A_{12} = -4$ - $A_{21} = -(-2) = 2$ - $A_{22} = -3$ $$Adj(M) = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ 2. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(M))^t = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|M|=2$): $$M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{(A \cdot B - C)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot B \cdot X - C \cdot X = C^t$.** En la ecuación $A \cdot B \cdot X - C \cdot X = C^t$, podemos sacar factor común la matriz $X$ por la derecha: $$(A \cdot B - C) \cdot X = C^t$$ Observemos que la matriz entre paréntesis es justamente la matriz $M$ que calculamos en el apartado anterior. Por tanto, la ecuación es: $$M \cdot X = C^t$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $M^{-1}$ en ambos miembros: $$M^{-1} \cdot M \cdot X = M^{-1} \cdot C^t$$ $$I \cdot X = M^{-1} \cdot C^t \implies X = M^{-1} \cdot C^t$$ 💡 **Tip:** Es fundamental sacar el factor común por el lado correcto (derecha o izquierda) ya que el producto de matrices no es conmutativo.

Calculamos primero $C^t$ (traspuesta de $C$): $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ (Nota: $C$ es simétrica, por lo que $C = C^t$). Ahora realizamos el producto $X = M^{-1} \cdot C^t$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las matrices: - Elemento (1,1): $(2 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = 2 + 4 = 6$ - Elemento (1,2): $(2 \cdot 2) + (2 \cdot (-3)) = 4 - 6 = -2$ - Elemento (2,1): $(-4 \cdot 1) + (-3 \cdot 2) = -4 - 6 = -10$ - Elemento (2,2): $(-4 \cdot 2) + (-3 \cdot (-3)) = -8 + 9 = 1$ $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -10 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 0.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$