Estudio de la demanda de cereales

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la cantidad de cereales demandada si el precio es de 0.50 euros por kilogramo?** Para calcular la demanda cuando el precio es de $0.50$ euros, simplemente debemos evaluar la función $D(x)$ en el punto $x = 0.5$. Sustituimos $x = 0.5$ en la expresión de la función: $$D(0.5) = -200(0.5)^3 + 2100(0.5)^2 - 7200(0.5) + 10000$$ Realizamos las operaciones paso a paso: - $(0.5)^3 = 0.125$ - $(0.5)^2 = 0.25$ $$D(0.5) = -200(0.125) + 2100(0.25) - 3600 + 10000$$ $$D(0.5) = -25 + 525 - 3600 + 10000 = 6900$$ 💡 **Tip:** Recuerda que evaluar una función consiste en sustituir la variable independiente (en este caso el precio $x$) por el valor dado y calcular el resultado numérico. ✅ **Resultado:** $$\boxed{6900 \text{ kg de cereales}}$$

**b) (2 puntos) Calcule para qué precio se alcanza una demanda mínima del producto y determine dicha demanda.** Para encontrar los extremos relativos (máximos o mínimos) de la función de demanda en el intervalo $[0, 4]$, primero calculamos su derivada $D'(x)$. $D(x) = -200x^3 + 2100x^2 - 7200x + 10000$ $$D'(x) = -200(3x^2) + 2100(2x) - 7200$$ $$D'(x) = -600x^2 + 4200x - 7200$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-600x^2 + 4200x - 7200 = 0$$ Para simplificar la ecuación, podemos dividir todos los términos por $-600$: $$x^2 - 7x + 12 = 0$$ 💡 **Tip:** Para optimizar una función en un intervalo cerrado, debemos buscar los puntos donde la derivada es cero y también comprobar los valores en los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=4$).

Resolvemos la ecuación $x^2 - 7x + 12 = 0$ utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(12)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4$ - $x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3$ Ambos valores, $x=3$ y $x=4$, pertenecen al dominio del estudio $[0, 4]$.

Para determinar si en $x=3$ hay un máximo o un mínimo, estudiamos el signo de la derivada $D'(x)$ en el intervalo $[0, 4]$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, 4) \\ \hline D'(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Comportamiento} & \text{Decreciente } \searrow & \text{Mínimo} & \text{Creciente } \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 3)$, tomamos $x=1$: $D'(1) = -600(1)^2 + 4200(1) - 7200 = -3600 \lt 0$ (Decrece). - En el intervalo $(3, 4)$, tomamos $x=3.5$: $D'(3.5) = -600(3.5)^2 + 4200(3.5) - 7200 = 150 \gt 0$ (Crece). Al pasar de decreciente a creciente en $x=3$, confirmamos que hay un **mínimo relativo** en ese punto.

Para hallar el mínimo absoluto en el intervalo cerrado $[0, 4]$, comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: 1. **En el extremo izquierdo ($x=0$):** $D(0) = 10000 \text{ kg}$ 2. **En el punto crítico ($x=3$):** $D(3) = -200(3)^3 + 2100(3)^2 - 7200(3) + 10000$ $D(3) = -200(27) + 2100(9) - 21600 + 10000$ $D(3) = -5400 + 18900 - 21600 + 10000 = 1900 \text{ kg}$ 3. **En el extremo derecho ($x=4$):** $D(4) = -200(4)^3 + 2100(4)^2 - 7200(4) + 10000$ $D(4) = -200(64) + 2100(16) - 28800 + 10000$ $D(4) = -12800 + 33600 - 28800 + 10000 = 2000 \text{ kg}$ Comparando los valores: $10000$, $1900$ y $2000$, el valor más bajo es $1900$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La demanda mínima es de } 1900 \text{ kg y se alcanza a un precio de } 3 \text{ euros/kg}}$$