Probabilidad de hospitalización por causas de una enfermedad

**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que necesite hospitalización?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: La causa de la enfermedad es A. - $B$: La causa de la enfermedad es B. - $C$: La causa de la enfermedad es C. - $H$: La persona necesita hospitalización. - $\bar{H}$: La persona no necesita hospitalización. Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad: - $P(A) = 0.35$ - $P(B) = 0.40$ - $P(C) = 0.25$ Las probabilidades condicionadas (hospitalización según la causa) son: - $P(H|A) = 0.15 \Rightarrow P(\bar{H}|A) = 0.85$ - $P(H|B) = 0.45 \Rightarrow P(\bar{H}|B) = 0.55$ - $P(H|C) = 0.20 \Rightarrow P(\bar{H}|C) = 0.80$ Representamos la situación con un diagrama en árbol para visualizar todas las posibilidades:

Para calcular la probabilidad de que una persona necesite hospitalización, $P(H)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad del suceso final es la suma de las probabilidades de llegar a él a través de cada una de las causas posibles: $$P(H) = P(A) \cdot P(H|A) + P(B) \cdot P(H|B) + P(C) \cdot P(H|C)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(H) = 0.35 \cdot 0.15 + 0.40 \cdot 0.45 + 0.25 \cdot 0.20$$ Realizamos las operaciones: $$P(H) = 0.0525 + 0.18 + 0.05 = 0.2825$$ La probabilidad de que necesite hospitalización es de $0.2825$ (o un $28.25 \%$). 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir por varios caminos excluyentes entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.2825}$$

**b) (1 punto) Si no necesita hospitalización, ¿cuál es la probabilidad de que la causa de la enfermedad sea C?** Nos piden calcular la probabilidad de que la causa sea C sabiendo que no ha habido hospitalización, es decir, $P(C|\bar{H})$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(C|\bar{H}) = \frac{P(C \cap \bar{H})}{P(\bar{H})} = \frac{P(C) \cdot P(\bar{H}|C)}{P(\bar{H})}$$ Primero, calculamos la probabilidad de no necesitar hospitalización, $P(\bar{H})$, que es el suceso contrario a $P(H)$: $$P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0.2825 = 0.7175$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (causa C y no hospitalización): $$P(C \cap \bar{H}) = P(C) \cdot P(\bar{H}|C) = 0.25 \cdot 0.80 = 0.20$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(C|\bar{H}) = \frac{0.20}{0.7175} \approx 0.2787$$ La probabilidad de que la causa sea C si no hubo hospitalización es aproximadamente **$0.2787$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para realizar "probabilidad inversa": conociendo el resultado final (no hospitalización), queremos saber la probabilidad de la causa original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|\bar{H}) = \frac{0.20}{0.7175} \approx 0.2787}$$