Intervalo de confianza y error de estimación de la media

**a) (1.5 puntos) Calcule el valor que se obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de la muestra utilizado.** En un intervalo de confianza para la media, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el centro del intervalo. Por lo tanto, podemos calcularla como el valor medio de los extremos del intervalo dado $(18475.7, 18524.3)$: $$\bar{x} = \frac{18475.7 + 18524.3}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{37000}{2} = 18500$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza tiene la forma $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo. Por eso $\bar{x}$ siempre es el punto medio. ✅ **Resultado (media muestral):** $$\boxed{\bar{x} = 18500 \text{ horas}}$$

Para hallar el tamaño de la muestra $n$, primero necesitamos determinar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $98.5\%$. 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.985$. 2. Calculamos $\alpha = 1 - 0.985 = 0.015$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.0075$. 4. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0075 = 0.9925$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal, el valor $0.9925$ corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 2.43$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o haz una interpolación, aunque en este caso $0.9925$ aparece exactamente para $2.43$.

Sabemos que el error máximo admisible $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{18524.3 - 18475.7}{2} = \frac{48.6}{2} = 24.3$$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Conocemos $\sigma = 150$, $z_{\alpha/2} = 2.43$ y $E = 24.3$. Sustituimos y despejamos $n$: $$24.3 = 2.43 \cdot \frac{150}{\sqrt{n}}$$ Dividimos ambos lados por $2.43$: $$10 = \frac{150}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{150}{10} = 15$$ $$n = 15^2 = 225$$ ✅ **Resultado (tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 225 \text{ bombillas}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál será el error máximo de estimación de la media si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del $96.6 \%?$** Primero, calculamos el nuevo valor crítico para el nivel de confianza del $96.6\%$. 1. $1 - \alpha = 0.966$. 2. $\alpha = 1 - 0.966 = 0.034$. 3. $\alpha/2 = 0.017$. 4. Buscamos en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.017 = 0.9830$. Consultando la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9830$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.12$$

Ahora aplicamos la fórmula del error con los nuevos datos: $n = 100$, $\sigma = 150$ y $z_{\alpha/2} = 2.12$. $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.12 \cdot \frac{150}{\sqrt{100}}$$ $$E = 2.12 \cdot \frac{150}{10}$$ $$E = 2.12 \cdot 15 = 31.8$$ 💡 **Tip:** El error depende directamente del nivel de confianza (a más confianza, más error) e inversamente del tamaño de la muestra (a más muestra, menos error). ✅ **Resultado (error máximo):** $$\boxed{E = 31.8 \text{ horas}}$$