Optimización del coste de una dieta

**Determine los kilogramos que se han de mezclar de cada tipo de pienso para que el coste de la dieta sea mínimo. ¿Cuál sería dicho coste? ¿Cuántas unidades de Hierro y de Calcio se administrarían a los animales con esta dieta?** En primer lugar, definimos las variables del problema basándonos en lo que nos preguntan: - $x$: Kilogramos de pienso tipo A. - $y$: Kilogramos de pienso tipo B. El objetivo es minimizar el coste total de la dieta. Como ambos piensos cuestan $1$ €/kg, la función de coste (función objetivo) será: $$f(x, y) = 1x + 1y = x + y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión (lo que puedes controlar) y la función objetivo (lo que quieres maximizar o minimizar).

A partir del enunciado, extraemos las condiciones o restricciones que deben cumplir las cantidades de pienso: 1. **Calcio:** El pienso A aporta $2$ unidades/kg y el B aporta $1$. Se necesitan al menos $2$ unidades: $$2x + y \ge 2$$ 2. **Hierro:** El pienso A aporta $1$ unidad/kg y el B aporta $2$. Se necesitan al menos $2$ unidades: $$x + 2y \ge 2$$ 3. **No negatividad:** Las cantidades de pienso no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** La expresión "al menos" se traduce matemáticamente como el símbolo mayor o igual ($\\ge$).

Para hallar la solución, representamos gráficamente las inecuaciones. Primero dibujamos las rectas asociadas para delimitar la región: - Recta $r_1$ (Calcio): $2x + y = 2$. Pasa por $(0, 2)$ y $(1, 0)$. - Recta $r_2$ (Hierro): $x + 2y = 2$. Pasa por $(0, 1)$ y $(2, 0)$. La región factible es el área sombreada donde se cumplen todas las condiciones simultáneamente. Al ser un problema de "al menos", la región es no acotada hacia arriba.

Los vértices de la región factible son los puntos de corte de las rectas que la delimitan: - **Vértice A:** Corte de $r_1$ con el eje $Y$ ($x=0$): $2(0) + y = 2 \implies y = 2 \rightarrow \mathbf{A(0, 2)}$ - **Vértice B:** Corte de $r_1$ con $r_2$: $$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ x + 2y = 2 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $-2$ y sumamos: $-4x - 2y = -4$ $x + 2y = 2$ $-3x = -2 \implies x = \frac{2}{3}$ Sustituyendo en la primera: $2(\frac{2}{3}) + y = 2 \implies y = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \rightarrow \mathbf{B(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})}$ - **Vértice C:** Corte de $r_2$ con el eje $X$ ($y=0$): $x + 2(0) = 2 \implies x = 2 \rightarrow \mathbf{C(2, 0)}$ 💡 **Tip:** En programación lineal, el valor óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos).

Evaluamos $f(x, y) = x + y$ en cada vértice para encontrar el coste mínimo: - $f(A) = f(0, 2) = 0 + 2 = 2$ € - $f(B) = f(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ € - $f(C) = f(2, 0) = 2 + 0 = 2$ € El coste mínimo es de **$1.33$ €** (o $\frac{4}{3}$ €) y se alcanza mezclando **$\frac{2}{3}$ kg de pienso A** y **$\frac{2}{3}$ kg de pienso B**. Finalmente, calculamos los nutrientes aportados con estas cantidades: - **Calcio:** $2(\frac{2}{3}) + 1(\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$ unidades. - **Hierro:** $1(\frac{2}{3}) + 2(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ unidades. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Cantidades: } \frac{2}{3} \text{ kg de A y } \frac{2}{3} \text{ kg de B} \\ \text{Coste mínimo: } \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ €} \\ \text{Nutrientes: 2 de Calcio y 2 de Hierro} \end{matrix}}$$