Estudio de una función a trozos: continuidad, derivabilidad y extremos

**a) (0.5 puntos) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua en todo su dominio.** El dominio de la función es el intervalo $[-2, 4]$. Las ramas que definen la función son polinómicas, por lo que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto donde la continuidad podría fallar es en el salto entre ramas, $x = 1$. Para que la función sea continua en $x = 1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ 2. Que exista el límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ 3. Que ambos límites sean iguales al valor de la función en el punto: $f(1)$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda (usando la primera rama): $$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$$ - Límite por la derecha y valor en el punto (usando la segunda rama): $$\lim_{x \to 1^+} (ax^2 + 4x) = f(1) = a(1)^2 + 4(1) = a + 4$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$a + 4 = 3 \implies a = 3 - 4 = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua "no debe haber saltos" en la gráfica, lo que matemáticamente implica que los límites laterales en los puntos de cambio deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$ La función para los siguientes apartados será: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } -2 \leq x < 1 \\ -x^2 + 4x & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

**b) (0.5 puntos) Para $a = -1$, compruebe si es derivable en $x = 1$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a = -1$ la función es **continua** en $x = 1$, que es la condición necesaria previa para que pueda ser derivable. Para comprobar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + 2 & \text{si } -2 \lt x \lt 1 \\ -2x + 4 & \text{si } 1 \lt x \lt 4 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en el punto crítico $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = -2(1) + 4 = 2$$ Como las derivadas laterales no coinciden ($4 \neq 2$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x = 1}$$ 💡 **Tip:** En la gráfica, un punto donde la función es continua pero no derivable suele representarse como un "pico" o punto anguloso.

**c) (0.75 puntos) Para $a = -1$, determine los extremos relativos de la función y el valor de la función en dichos extremos.** Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$) en cada rama y analizamos el punto de cambio de rama. **Rama 1: $x \in (-2, 1)$** $$f'(x) = 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$$ Como $-1$ está en el intervalo $(-2, 1)$, es un posible extremo. **Rama 2: $x \in (1, 4)$** $$f'(x) = -2x + 4 = 0 \implies -2x = -4 \implies x = 2$$ Como $2$ está en el intervalo $(1, 4)$, es otro posible extremo. **Estudio de la monotonía (signo de $f'(x)$):** $$\begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, 4) \\\hline f'(x) & & - & 0 & + & | & + & 0 & - \\\hline \text{Función} & & \searrow & \text{Min} & \nearrow & \text{Pico} & \nearrow & \text{Max} & \searrow \end{array}$$ Calculamos los valores de la función en estos puntos: - En $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$ - En $x = 2$: $f(2) = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$ 💡 **Tip:** Recuerda que un mínimo relativo ocurre donde la función pasa de decrecer a crecer, y un máximo relativo donde pasa de crecer a decrecer. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (-1, -1) \text{ y Máximo relativo en } (2, 4)}$$

**d) (0.75 puntos) Para $a = -1$, represente gráficamente la función en su dominio.** Para la representación, utilizamos los datos obtenidos: 1. Es una función a trozos compuesta por dos parábolas. 2. Puntos clave: - Extremo inicial: $f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 0 \implies (-2, 0)$ - Mínimo relativo: $(-1, -1)$ - Punto de unión (pico): $f(1) = 3 \implies (1, 3)$ - Máximo relativo: $(2, 4)$ - Extremo final: $f(4) = -(4)^2 + 4(4) = 0 \implies (4, 0)$ Aquí tienes la representación gráfica: