Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine, con un nivel de confianza del $97 \%$, un intervalo para estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 125$. - Número de clientes que no han probado el helado: $x = 20$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ (proporción de clientes que no lo probaron): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{20}{125} = 0.16$$ La proporción complementaria (los que sí lo probaron) será: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.16 = 0.84$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el número de éxitos (o casos de interés) dividido por el tamaño total de la muestra. $$\boxed{\hat{p} = 0.16, \quad \hat{q} = 0.84}$$

Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9850$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si no encuentras el valor exacto en la tabla, toma el más cercano o haz una interpolación lineal.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores calculados: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.16 \cdot 0.84}{125}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.1344}{125}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0010752}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.03279 \approx 0.07115$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.16 - 0.07115, \, 0.16 + 0.07115) = (0.08885, \, 0.23115)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = [0.08885, \, 0.23115]}$$

**b) (1 punto) Mediante una nueva muestra se desea estimar la proporción de clientes de esa heladería que no habían probado el nuevo helado, con un error inferior al $5 \%$ y un nivel de confianza del $94 \%$. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?** Nuevas condiciones: - Error admisible: $E \lt 0.05$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.03$. - Proporción estimada (del apartado anterior): $\hat{p} = 0.16, \hat{q} = 0.84$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.03 = 0.9700$: Mirando en las tablas de la Normal: $$P(Z \le 1.88) = 0.9699 \approx 0.9700$$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el tamaño muestral siempre debes buscar el valor crítico correspondiente al nuevo nivel de confianza indicado.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los datos: $$n = \frac{(1.88)^2 \cdot 0.16 \cdot 0.84}{(0.05)^2} = \frac{3.5344 \cdot 0.1344}{0.0025} = \frac{0.47502336}{0.0025}$$ $$n = 190.0093$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** al $5 \%$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 191 \text{ clientes}}$$