Ecuaciones matriciales y cálculo de determinantes

**a) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A^4 \cdot X = B^2 + I_2$.** En primer lugar, observamos que para resolver la ecuación necesitamos conocer la matriz $A^4$. Vamos a calcular las potencias de $A$ paso a paso: Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1/2 & 5 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & 5 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $(-1/2) \cdot (-1/2) + 5 \cdot (-1/4) = 1/4 - 5/4 = -4/4 = -1$ - Elemento (1,2): $(-1/2) \cdot 5 + 5 \cdot (1/2) = -5/2 + 5/2 = 0$ - Elemento (2,1): $(-1/4) \cdot (-1/2) + (1/2) \cdot (-1/4) = 1/8 - 1/8 = 0$ - Elemento (2,2): $(-1/4) \cdot 5 + (1/2) \cdot (1/2) = -5/4 + 1/4 = -4/4 = -1$ Por tanto: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$$ Ahora calculamos $A^4$: $$A^4 = (A^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2$$ 💡 **Tip:** Cuando una potencia de una matriz da como resultado la identidad o su opuesta, los cálculos posteriores se simplifican enormemente. $$\boxed{A^4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2}$$

A continuación, calculamos el término de la derecha de la ecuación, que incluye $B^2$: $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto: - Elemento (1,1): $(1)(1) + (-1)(2) = 1 - 2 = -1$ - Elemento (1,2): $(1)(-1) + (-1)(1) = -1 - 1 = -2$ - Elemento (2,1): $(2)(1) + (1)(2) = 2 + 2 = 4$ - Elemento (2,2): $(2)(-1) + (1)(1) = -2 + 1 = -1$ Obtenemos: $$\boxed{B^2 = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos $A^4 = I_2$ en la ecuación original: $$A^4 \cdot X = B^2 + I_2 \implies I_2 \cdot X = B^2 + I_2$$ Como cualquier matriz multiplicada por la identidad es ella misma ($I \cdot X = X$), tenemos: $$X = B^2 + I_2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$X = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$X = \begin{pmatrix} -1 + 1 & -2 + 0 \\ 4 + 0 & -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Tiene inversa la matriz $C$? Justifique la respuesta.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|C| \neq 0$). Calculamos el determinante de $C$ mediante la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|C| = (1)(-1)(0) + (0)(1)(-1) + (-1)(0)(1) - [(-1)(-1)(-1) + (1)(1)(1) + (0)(0)(0)]$$ $$|C| = 0 + 0 + 0 - [-1 + 1 + 0] = 0 - 0 = 0$$ Como el determinante es **cero**, la matriz **no es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz es cero, se dice que la matriz es singular y no posee inversa. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\text{No, la matriz } C \text{ no tiene inversa porque } |C| = 0}$$