Continuidad, derivabilidad y cálculo de parámetros

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 1 & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$** Para estudiar la continuidad, analizamos primero las ramas por separado. Ambas son funciones continuas en sus dominios (una es un polinomio y la otra una exponencial). El único punto conflictivo es el salto entre ramas en $x = 0$. Para que $f$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 4x + 1) = 0^2 + 4(0) + 1 = 1$$ 2. **Límite por la derecha y valor en el punto ($x \geq 0$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = e^{-0} = 1$$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$, la función es continua en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el límite existe y coincide con el valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 0 \\ -e^{-x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en el punto de salto $x = 0$: 1. **Derivada por la izquierda:** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 4) = 2(0) + 4 = 4$$ 2. **Derivada por la derecha:** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (-e^{-x}) = -e^0 = -1$$ Como las derivadas laterales son distintas ($4 \neq -1$), la función no es derivable en $x = 0$. Gráficamente, esto significa que hay un punto anguloso. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f(x) es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (1 punto) Dada la función $g(x) = x^3 + bx^2 + c$, calcule los valores de $b$ y $c$ sabiendo que $g$ tiene un extremo relativo en $x = -1$ y que su gráfica pasa por el punto $(-1, 3)$.** Primero, utilizamos la condición del extremo relativo. Si $g(x)$ tiene un extremo en $x = -1$, entonces su derivada en ese punto debe ser cero ($g'(-1) = 0$). Calculamos la derivada de $g(x)$: $$g'(x) = 3x^2 + 2bx$$ Sustituimos $x = -1$ e igualamos a cero: $$g'(-1) = 3(-1)^2 + 2b(-1) = 0$$ $$3 - 2b = 0$$ $$2b = 3 \implies b = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** En los puntos donde hay un máximo o mínimo relativo (extremos), la pendiente de la recta tangente es horizontal, por lo que la derivada vale 0. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 1.5}$$

Ahora utilizamos la segunda condición: la gráfica de $g$ pasa por el punto $(-1, 3)$. Esto significa que $g(-1) = 3$. Utilizamos la expresión de $g(x) = x^3 + bx^2 + c$ y el valor de $b = \frac{3}{2}$ que ya hemos calculado: $$g(-1) = (-1)^3 + b(-1)^2 + c = 3$$ $$-1 + b + c = 3$$ Sustituimos $b = \frac{3}{2}$: $$-1 + \frac{3}{2} + c = 3$$ $$\frac{1}{2} + c = 3$$ $$c = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$ 💡 **Tip:** Cuando una función pasa por un punto $(x_0, y_0)$, siempre se cumple la relación $g(x_0) = y_0$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{b = \frac{3}{2}, \quad c = \frac{5}{2}}$$