Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Taxistas y licencias

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que sea propietario de la licencia del vehículo.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El taxista tiene 40 años o más. - $\bar{A}$: El taxista tiene menos de 40 años. - $L$: El taxista es propietario de la licencia. - $\bar{L}$: El taxista no es propietario de la licencia. A partir del enunciado, extraemos los datos de probabilidad: - $P(A) = 0,70 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0,70 = 0,30$ - $P(L|A) = 0,60 \implies P(\bar{L}|A) = 1 - 0,60 = 0,40$ - $P(L|\bar{A}) = 0,23 \implies P(\bar{L}|\bar{A}) = 1 - 0,23 = 0,77$ Representamos la información en un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de ser propietario, $P(L)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las ramas que terminan en el suceso $L$: $$P(L) = P(A) \cdot P(L|A) + P(\bar{A}) \cdot P(L|\bar{A})$$ Sustituimos los valores: $$P(L) = (0,70 \cdot 0,60) + (0,30 \cdot 0,23)$$ $$P(L) = 0,42 + 0,069 = 0,489$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L) = 0,489}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que no es propietario de la licencia, calcule la probabilidad de que tenga 40 años o más.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(A|\bar{L})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{L}) = \frac{P(A \cap \bar{L})}{P(\bar{L})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{L}|A)}{P(\bar{L})}$$ Primero, calculamos el denominador $P(\bar{L})$, que es el suceso contrario de ser propietario: $$P(\bar{L}) = 1 - P(L) = 1 - 0,489 = 0,511$$ Ahora calculamos el numerador: $$P(A \cap \bar{L}) = 0,70 \cdot 0,40 = 0,28$$ Finalmente: $$P(A|\bar{L}) = \frac{0,28}{0,511} \approx 0,5479$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, el numerador siempre es uno de los sumandos que habrías usado para calcular la probabilidad total del denominador si lo hubieras desglosado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{L}) \approx 0,5479}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que sea propietario de la licencia o tenga menos de 40 años.** Nos piden la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(L \cup \bar{A})$. Utilizamos la fórmula general: $$P(L \cup \bar{A}) = P(L) + P(\bar{A}) - P(L \cap \bar{A})$$ Calculamos la intersección $P(L \cap \bar{A})$ que corresponde a los taxistas jóvenes que son propietarios: $$P(L \cap \bar{A}) = P(\bar{A}) \cdot P(L|\bar{A}) = 0,30 \cdot 0,23 = 0,069$$ Sustituimos en la fórmula de la unión: $$P(L \cup \bar{A}) = 0,489 + 0,30 - 0,069$$ $$P(L \cup \bar{A}) = 0,789 - 0,069 = 0,72$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la unión, ya que si no estarías contando dos veces a los taxistas que cumplen ambas condiciones a la vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cup \bar{A}) = 0,72}$$