Intervalo de confianza y tamaño muestral para la vida útil

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al $99 \%$ para la vida útil media de los filtros de las máquinas.** Primero, identificamos los datos del problema: - La variable sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, donde la desviación típica es $\sigma = 2000$. - El tamaño de la muestra es $n = 9$. - Los datos de la muestra son: $9500, 10000, 8500, 10500, 16500, 10000, 12000, 14000, 17000$. Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando todos los valores y dividiendo por $n$: $$\bar{x} = \frac{9500+10000+8500+10500+16500+10000+12000+14000+17000}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{108000}{9} = 12000$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 12000 \text{ horas}}$$

Para un nivel de confianza del $99\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.99$. Por lo tanto: $$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.005 = 0.995$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor de $0.995$ se encuentra exactamente entre $z = 2.57$ y $z = 2.58$. Habitualmente se toma el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$

La fórmula del error máximo admitido es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.575 \cdot \frac{2000}{\sqrt{9}} = 2.575 \cdot \frac{2000}{3} \approx 2.575 \cdot 666.67 = 1716.67$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: - Límite inferior: $12000 - 1716.67 = 10283.33$ - Límite superior: $12000 + 1716.67 = 13716.67$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos da un rango de valores donde es probable que se encuentre la verdadera media poblacional con la seguridad indicada. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (10283.33, 13716.67)}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo que debería tener una muestra, para que el error cometido en la estimación de la vida útil media de los filtros sea inferior a 500 horas, con un nivel de confianza del $95 \%?$** Identificamos los nuevos requisitos: - Error máximo: $E < 500$. - Nivel de confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95$. - Desviación típica: $\sigma = 2000$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$: $$\alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ En las tablas, la probabilidad $0.975$ corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los datos: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 2000}{500} = 1.96 \cdot 4 = 7.84$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (7.84)^2 = 61.4656$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 500, siempre debemos redondear hacia el siguiente número entero superior (hacia arriba). 💡 **Tip:** Si redondeáramos a 61, el error sería ligeramente superior a 500. Al elegir 62, garantizamos que el error sea menor que el límite propuesto. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 62}$$