Cálculo de derivadas y recta tangente a una parábola

**a) (1 punto) Calcule la derivada de las siguientes funciones: $f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \quad g(x) = (x^2 + 1)^2 \cdot e^{2x-1}$** Para derivar $f(x)$, es mucho más sencillo aplicar primero las propiedades de los logaritmos. Recordamos que $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$: $$f(x) = \frac{1}{2} \left[ \ln(1-x) - \ln(1+x) \right]$$ Ahora derivamos término a término usando la regla de la cadena $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right]$$ Realizamos la suma de fracciones buscando el denominador común $(1-x)(1+x) = 1-x^2$: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \right]$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{-2}{1-x^2} \right) = \frac{-1}{1-x^2}$$ 💡 **Tip:** También puedes expresar el resultado como $\frac{1}{x^2-1}$ multiplicando por $-1$ numerador y denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{x^2-1}}$$

Para la función $g(x) = (x^2 + 1)^2 \cdot e^{2x-1}$, aplicamos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Definimos las partes: - $u = (x^2 + 1)^2 \implies u' = 2(x^2 + 1) \cdot 2x = 4x(x^2+1)$ - $v = e^{2x-1} \implies v' = 2e^{2x-1}$ Sustituimos en la fórmula: $$g'(x) = 4x(x^2+1) \cdot e^{2x-1} + (x^2+1)^2 \cdot 2e^{2x-1}$$ Para simplificar, sacamos factor común $2(x^2+1)e^{2x-1}$: $$g'(x) = 2(x^2+1)e^{2x-1} \left[ 2x + (x^2+1) \right]$$ Observamos que el término entre corchetes es un binomio al cuadrado: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = 2(x^2+1)(x+1)^2 e^{2x-1}}$$

**b) (1.5 puntos) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $h(x) = x^2 - 6x + 8$ en el punto de abscisa $x = 4$. Represente gráficamente la función $h$ y la recta tangente hallada.** La ecuación de la recta tangente en $x=a$ viene dada por: $$y - h(a) = h'(a)(x - a)$$ 1. **Calculamos el punto de tangencia:** Sustituimos $x=4$ en la función original: $$h(4) = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$$ El punto es **$(4, 0)$**. 2. **Calculamos la pendiente ($m$):** Derivamos $h(x)$ y evaluamos en $x=4$: $$h'(x) = 2x - 6$$ $$m = h'(4) = 2(4) - 6 = 2$$ 3. **Sustituimos en la fórmula:** $$y - 0 = 2(x - 4) \implies y = 2x - 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada evaluada en un punto representa la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2x - 8}$$

Para representar la función $h(x) = x^2 - 6x + 8$, identificamos que es una parábola con las ramas hacia arriba ($a=1 > 0$): - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$. La ordenada es $h(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = -1$. Vértice en $(3, -1)$. - **Puntos de corte eje X:** $x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2, x = 4$. - **Recta tangente:** Pasa por $(4, 0)$ y tiene pendiente $2$ (por ejemplo, pasa por $(3, -2)$). A continuación se muestra la representación gráfica interactiva de la parábola y su recta tangente.