Probabilidad de hábitos saludables

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que siga una dieta de adelgazamiento o que practique deporte regularmente?** En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado: - $D$: "Seguir una dieta de adelgazamiento". - $S$: "Practicar deporte regularmente". Extraemos los datos del problema en términos de probabilidad: 1. El $17 \%$ sigue dieta y hace deporte: $P(D \cap S) = 0.17$. 2. El $58 \%$ ni sigue dieta ni hace deporte: $P(\bar{D} \cap \bar{S}) = 0.58$. 3. De los que hacen deporte, el $50 \%$ hace dieta: $P(D|S) = 0.50$. 💡 **Tip:** Recuerda que la frase "de los que hacen X, el Y% hace Z" siempre indica una probabilidad condicionada: $P(Z|X)$.

A partir de los datos anteriores, vamos a calcular $P(S)$ usando la definición de probabilidad condicionada: $$P(D|S) = \frac{P(D \cap S)}{P(S)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.50 = \frac{0.17}{P(S)} \implies P(S) = \frac{0.17}{0.50} = 0.34$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la unión que pide el apartado (a). Sabemos por las leyes de De Morgan que: $$P(\bar{D} \cap \bar{S}) = P(\overline{D \cup S}) = 0.58$$ Como la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario es 1: $$P(D \cup S) = 1 - P(\overline{D \cup S}) = 1 - 0.58 = 0.42$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(D \cup S) = 0.42}$$ 💡 **Tip:** Las leyes de De Morgan son fundamentales: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$.

Para resolver el resto de apartados de forma clara, completamos una tabla de contingencia con todas las probabilidades. Sabemos que: - $P(S) = 0.34 \implies P(\bar{S}) = 1 - 0.34 = 0.66$. - $P(D \cap S) = 0.17$. - $P(\bar{D} \cap \bar{S}) = 0.58$. Calculamos los huecos: - $P(\bar{D} \cap S) = P(S) - P(D \cap S) = 0.34 - 0.17 = 0.17$. - $P(D \cap \bar{S}) = P(\bar{S}) - P(\bar{D} \cap \bar{S}) = 0.66 - 0.58 = 0.08$. - $P(D) = P(D \cap S) + P(D \cap \bar{S}) = 0.17 + 0.08 = 0.25$. - $P(\bar{D}) = P(\bar{D} \cap S) + P(\bar{D} \cap \bar{S}) = 0.17 + 0.58 = 0.75$. **Tabla de contingencia:** $$\begin{array}{c|cc|c} & S & \bar{S} & \text{Total} \\ \hline D & 0.17 & 0.08 & 0.25 \\ \bar{D} & 0.17 & 0.58 & 0.75 \\ \hline \text{Total} & 0.34 & 0.66 & 1.00 \end{array}$$

**b) (1 punto) Si el individuo elegido sigue una dieta de adelgazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que practique deporte con regularidad?** Nos piden la probabilidad de que practique deporte sabiendo que sigue una dieta, es decir, $P(S|D)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(S|D) = \frac{P(S \cap D)}{P(D)}$$ Consultamos los valores en nuestra tabla de contingencia: $$P(S|D) = \frac{0.17}{0.25}$$ Realizamos la división: $$P(S|D) = 0.68$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(S|D) = 0.68}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "Seguir una dieta de adelgazamiento" y "Practicar algún deporte regularmente"?** Dos sucesos $D$ y $S$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(D \cap S) = P(D) \cdot P(S)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(D) \cdot P(S) = 0.25 \cdot 0.34 = 0.085$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección dada en el enunciado: $$P(D \cap S) = 0.17$$ Como $0.17 \neq 0.085$, entonces: $$P(D \cap S) \neq P(D) \cdot P(S)$$ Concluimos que los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(S|D) = P(S)$. Como $0.68 \neq 0.34$, queda confirmado que el hecho de seguir una dieta influye en la probabilidad de hacer deporte. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{\text{Los sucesos son dependientes (no independientes)}}$$