Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño de la muestra

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza al $90 \%$ para la cantidad media de azúcar añadida a cada refresco.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - La población sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$. - La varianza es $\sigma^2 = 225 \text{ mg}^2$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{225} = 15 \text{ mg}$. - El tamaño de la muestra es $n = 25$. - La media muestral obtenida es $\bar{x} = 175 \text{ mg}$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.90$ (o $90 \%$). 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es un error común olvidar hacer la raíz cuadrada cuando nos dan la varianza.

Para un nivel de confianza del $90 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces $\alpha = 0.10$. 2. Dividimos el error entre las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0.05$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Consultando las tablas de la Normal, vemos que el valor $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ ($0.9495$) y $1.65$ ($0.9505$). Tomamos el valor intermedio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $90 \%$ ($1.645$), $95 \%$ ($1.96$) y $99 \%$ ($2.575$) se usan tanto que conviene memorizarlos.

La fórmula para el intervalo de confianza de la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{15}{\sqrt{25}} = 1.645 \cdot \frac{15}{5} = 1.645 \cdot 3 = 4.935$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando el error a la media muestral: - Límite inferior: $175 - 4.935 = 170.065$ - Límite superior: $175 + 4.935 = 179.935$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{90 \%} = (170.065, 179.935)}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el intervalo de confianza correspondiente al $80 \%$ tenga una amplitud como máximo de $5 \text{ mg}?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.80$. - Amplitud del intervalo: $A = 5 \text{ mg}$. Sabemos que la amplitud del intervalo es el doble del error ($A = 2E$). Por tanto: $$2E \le 5 \implies E \le \frac{5}{2} = 2.5 \text{ mg}$$ Necesitamos que el error sea, como mucho, $2.5 \text{ mg}$. 💡 **Tip:** ¡Cuidado! Es muy frecuente confundir amplitud con error. La amplitud es la distancia total entre los dos extremos del intervalo, es decir, dos veces el error.

Para un nivel de confianza del $80 \%$: 1. $1 - \alpha = 0.80 \implies \alpha = 0.20$. 2. $\alpha/2 = 0.10$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.10 = 0.90$. En las tablas de la Normal estándar: $P(Z \le 1.28) = 0.8997$ (valor más cercano). Por tanto, $z_{\alpha/2} \approx 1.28$. Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores: $$\sqrt{n} = \frac{1.28 \cdot 15}{2.5} = \frac{19.2}{2.5} = 7.68$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (7.68)^2 = 58.9824$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el tamaño **mínimo** para que el error no supere el límite, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 59 \text{ refrescos}}$$