Operaciones y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas cuando sea posible:** Para que las operaciones matriciales sean posibles, debemos analizar las dimensiones de cada matriz: - $A$ es de dimensión $2 \times 2$. - $B$ es de dimensión $2 \times 2$. - $C$ es de dimensión $2 \times 1$. - $D$ es de dimensión $1 \times 2$. Analizamos las dos primeras operaciones: 1. **$A + B \cdot C$**: - El producto $B \cdot C$ es de $(2 \times 2) \cdot (2 \times 1) = 2 \times 1$. - Para sumar $A + (B \cdot C)$, ambas matrices deben tener la misma dimensión. $A$ es $2 \times 2$ y $B \cdot C$ es $2 \times 1$. - **No se puede realizar** por tener distintas dimensiones. 2. **$A \cdot C + B \cdot D^t$**: - $A \cdot C$ es $(2 \times 2) \cdot (2 \times 1) = 2 \times 1$. - $D^t$ es la traspuesta de $D$, por lo que su dimensión es $2 \times 1$. - $B \cdot D^t$ es $(2 \times 2) \cdot (2 \times 1) = 2 \times 1$. - Ambas tienen dimensión $2 \times 1$, luego **sí se puede realizar**. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $M_{m \times n} \cdot N_{n \times p}$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Realizamos los cálculos por partes: $$A \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 3 + (-1)\cdot 1 \\ -6\cdot 3 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -17 \end{pmatrix}$$ $$B \cdot D^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot (-2) + 0\cdot 2 \\ -2\cdot (-2) + 2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}$$ Sumamos los resultados: $$\begin{pmatrix} 8 \\ -17 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{A \cdot C + B \cdot D^t = \begin{pmatrix} 4 \\ -9 \end{pmatrix}}$$

Analizamos las dos operaciones restantes: 3. **$B^2 + C \cdot D$**: - $B^2 = B \cdot B$ es $(2 \times 2) \cdot (2 \times 2) = 2 \times 2$. - $C \cdot D$ es $(2 \times 1) \cdot (1 \times 2) = 2 \times 2$. - Ambas son $2 \times 2$, luego **sí se puede realizar**. 4. **$A + D \cdot C$**: - $D \cdot C$ es $(1 \times 2) \cdot (2 \times 1) = 1 \times 1$ (un escalar). - $A$ es $2 \times 2$ y $D \cdot C$ es $1 \times 1$. - **No se puede realizar** por tener distintas dimensiones.

Calculamos cada término: $$B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+0 & 0+0 \\ -4-4 & 0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}$$ $$C \cdot D = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot(-2) & 3\cdot 2 \\ 1\cdot(-2) & 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Sumamos ambos resultados: $$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -10 & 6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado Parcial:** $$\boxed{B^2 + C \cdot D = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -10 & 6 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $X \cdot (A + I_2) = 3B^t$.** Primero, despejamos la matriz $X$. Para ello, llamaremos $M = (A + I_2)$. La ecuación queda como: $$X \cdot M = 3B^t$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por la inversa de $M$, es decir, $M^{-1}$ (siempre que exista): $$X \cdot M \cdot M^{-1} = 3B^t \cdot M^{-1} \implies X = 3B^t \cdot M^{-1}$$ Calculamos la matriz $M$: $$M = A + I_2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación importa. Como $M$ está a la derecha de $X$, su inversa debe aparecer a la derecha del otro miembro.

Calculamos $M^{-1}$. Primero hallamos su determinante $|M|$: $$|M| = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -6 & 2 \end{vmatrix} = (4 \cdot 2) - (-6 \cdot -1) = 8 - 6 = 2$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (o traspuesta de la adjunta): $M^t = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ Adjuntos de $M$: $Adj(M) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ Luego, la inversa es: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} Adj(M)^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos el término $3B^t$: $$B^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \implies 3B^t = \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X$: $$X = (3B^t) \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos el escalar $1/2$ por la primera matriz para simplificar: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3\cdot 2 + (-3)\cdot 6 & 3\cdot 1 + (-3)\cdot 4 \\ 0\cdot 2 + 3\cdot 6 & 0\cdot 1 + 3\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-18 & 3-12 \\ 0+18 & 0+12 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -12 & -9 \\ 18 & 12 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -12 & -9 \\ 18 & 12 \end{pmatrix}}$$