Estudio de parámetros, extremos relativos e integración

**a) (1 punto) Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $(1, 3)$.** Para que la función tenga un extremo relativo en el punto $(1, 3)$, se deben cumplir dos condiciones matemáticas: 1. **La función pasa por el punto (1, 3):** Esto significa que $f(1) = 3$. 2. **Tiene un extremo relativo en $x = 1$:** Esto significa que su derivada en ese punto es cero, es decir, $f'(1) = 0$. Calculamos primero la expresión de la derivada de $f(x) = ax^2 + \frac{b}{x}$. Reescribimos el segundo término para derivar más fácilmente: $f(x) = ax^2 + b \cdot x^{-1}$. $$f'(x) = 2ax - b \cdot x^{-2} = 2ax - \frac{b}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$ y que un extremo relativo siempre anula la primera derivada si la función es derivable en ese punto.

Aplicamos las condiciones anteriores a nuestra función: **Condición 1: $f(1) = 3$** $$a(1)^2 + \frac{b}{1} = 3 \implies a + b = 3$$ **Condición 2: $f'(1) = 0$** $$2a(1) - \frac{b}{1^2} = 0 \implies 2a - b = 0$$ Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución o suma: De la segunda ecuación, despejamos $b$: $$b = 2a$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$a + (2a) = 3 \implies 3a = 3 \implies a = 1$$ Calculamos $b$: $$b = 2(1) = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 2}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = 1$ y $b = 2$, razone si en el punto $(1, 3)$ la función presenta un máximo o un mínimo.** Con $a = 1$ y $b = 2$, la función es $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ y su derivada es $f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2}$. Para determinar si en $x = 1$ hay un máximo o un mínimo, podemos usar el criterio de la **segunda derivada**. Calculamos $f''(x)$: $$f''(x) = (2x - 2x^{-2})' = 2 - 2(-2)x^{-3} = 2 + \frac{4}{x^3}$$ Evaluamos la segunda derivada en $x = 1$: $$f''(1) = 2 + \frac{4}{1^3} = 2 + 4 = 6$$ Como $f''(1) \gt 0$, la función es convexa (cóncava hacia arriba) en ese punto, lo que implica que existe un **mínimo relativo**. También podemos analizar el signo de la primera derivada alrededor de $x=1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(a)=0$ y $f''(a) \gt 0 \implies$ Mínimo. Si $f'(a)=0$ y $f''(a) \lt 0 \implies$ Máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En el punto (1, 3) hay un mínimo relativo}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcule $\int \left( x^2 + \frac{2}{x} \right) dx$.** Utilizamos las propiedades de linealidad de la integral para separar los términos: $$\int \left( x^2 + \frac{2}{x} \right) dx = \int x^2 \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx$$ Aplicamos las fórmulas de integración inmediata: 1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n = 2$. 2. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$. Resolvemos: $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$ $$\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \int \frac{1}{x} \, dx = 2\ln|x|$$ Sumamos los resultados y añadimos la constante de integración $C$: 💡 **Tip:** No olvides nunca la constante $C$ en las integrales indefinidas, ya que representa a toda la familia de funciones primitivas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x^3}{3} + 2\ln|x| + C}$$