Probabilidad de sucesos, independencia y condicional

**a) (0.5 puntos) Calcule $P(A \cap B)$.** Para resolver este apartado, utilizamos la definición de la probabilidad de la diferencia de sucesos. Sabemos que $P(A - B)$ representa la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ pero no el suceso $B$. La fórmula es: $$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos del enunciado ($P(A) = 0.5$ y $P(A - B) = 0.3$): $$0.3 = 0.5 - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = 0.5 - 0.3 = 0.2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A-B$ es equivalente a $A \cap B^c$. Gráficamente, es el trozo de $A$ al que le hemos quitado la parte común con $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.2}$$

Antes de continuar con los siguientes apartados, es muy útil organizar toda la información en una tabla de contingencia. Primero, calculamos $P(B)$ usando la fórmula de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$0.75 = 0.5 + P(B) - 0.2$$ $$0.75 = 0.3 + P(B) \implies P(B) = 0.45$$ Ahora completamos la tabla sabiendo que las sumas de filas y columnas deben coincidir con los totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B^c & \text{Total} \\\hline A & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ A^c & 0.25 & 0.25 & 0.5 \\\hline \text{Total} & 0.45 & 0.55 & 1.0 \end{array}$$ De aquí deducimos que: - $P(B^c) = 1 - 0.45 = 0.55$ - $P(A \cap B^c) = P(A - B) = 0.3$

**b) (1 punto) Calcule $P(A / B^c)$.** La expresión $P(A / B^c)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ha ocurrido el complementario de $B$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(A / B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$$ Utilizando los valores obtenidos anteriormente: - $P(A \cap B^c) = 0.3$ - $P(B^c) = 0.55$ Sustituimos: $$P(A / B^c) = \frac{0.3}{0.55} = \frac{30}{55}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 5: $$P(A / B^c) = \frac{6}{11} \approx 0.5455$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada siempre se calcula como la probabilidad de la intersección de ambos sucesos dividida por la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido (el que está después de la barra). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A / B^c) = \frac{6}{11} \approx 0.5455}$$

**c) (1 punto) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? ¿Son los sucesos $A$ y $B$ incompatibles?** **1. Independencia:** Dos sucesos son independientes si se cumple que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot 0.45 = 0.225$$ Comparamos con la intersección calculada en el apartado (a): $$P(A \cap B) = 0.2$$ Como $0.2 \neq 0.225$, entonces **los sucesos $A$ y $B$ no son independientes**. **2. Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si su intersección es vacía: $P(A \cap B) = 0$. En nuestro caso: $$P(A \cap B) = 0.2 \neq 0$$ Por tanto, **los sucesos $A$ y $B$ no son incompatibles** (o lo que es lo mismo, son compatibles). 💡 **Tip:** ¡Cuidado! No confundas ambos conceptos. La incompatibilidad significa que no hay elementos comunes; la independencia significa que el hecho de que ocurra uno no cambia la probabilidad de que ocurra el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes y no son incompatibles}}$$