Probabilidad y Estadística 2019 Andalucia
Inferencia estadística: Proporciones, intervalos de confianza y tamaño muestral
EJERCICIO 4
La Consejería de Educación elige una muestra de $5000$ estudiantes de 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales y los encuesta para conocer la opinión que tienen sobre la elección de cierta materia entre las optativas para cursar 2º de Bachillerato. El resultado de la encuesta revela que $2250$ estudiantes piensan elegir dicha materia optativa.
a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al $97.5 \%$ para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.
b) (1 punto) Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de $0.5$ y el error cometido en la estimación ha sido inferior a $0.03$ con un nivel de confianza del $92.5 \%$, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.
Paso 1
Identificación de los datos de la muestra
**a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza al $97.5 \%$ para estimar la proporción de estudiantes que piensan elegir esa materia optativa.**
Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la muestra inicial:
- Tamaño de la muestra: $n = 5000$.
- Número de estudiantes que eligen la materia: $x = 2250$.
- Proporción muestral ($\hat{p}$): Es el cociente entre los éxitos y el total.
$$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{2250}{5000} = 0.45$$
- Proporción complementaria (fracaso, $\hat{q}$):
$$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.45 = 0.55$$
💡 **Tip:** Recuerda que en inferencia para proporciones, trabajamos con la distribución muestral de proporciones, que se aproxima a una Normal si el tamaño muestral es suficientemente grande.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $97.5 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.975$.
2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.975 = 0.025$.
3. Dividimos la significación en dos colas: $\alpha/2 = 0.0125$.
4. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ tal que:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0125 = 0.9875$$
Buscando en la tabla de la distribución Normal:
$$P(Z \le 2.24) = 0.9875 \implies \boxed{z_{\alpha/2} = 2.24}$$
💡 **Tip:** El valor crítico marca el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.
Paso 3
Determinación del intervalo de confianza
La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es:
$$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.45 \cdot 0.55}{5000}}$$
$$E = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.2475}{5000}} = 2.24 \cdot \sqrt{0.0000495} \approx 2.24 \cdot 0.0070356 \approx 0.01576$$
Ahora formamos el intervalo:
- Límite inferior: $0.45 - 0.01576 = 0.43424$
- Límite superior: $0.45 + 0.01576 = 0.46576$
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{I.C. = (0.43424, \, 0.46576)}$$
Paso 4
Datos para el cálculo del tamaño muestral
**b) (1 punto) Si en otra muestra la proporción de estudiantes que piensa elegir esa materia es de $0.5$ y el error cometido en la estimación ha sido inferior a $0.03$ con un nivel de confianza del $92.5 \%$, calcule el tamaño muestral mínimo de esa muestra.**
Identificamos los nuevos datos:
- Proporción poblacional supuesta: $p = 0.5$.
- Complemento: $q = 1 - 0.5 = 0.5$.
- Error máximo: $E \lt 0.03$.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.925$.
Paso 5
Cálculo del nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$
Procedemos igual que en el apartado anterior para el nivel del $92.5 \%$:
1. $1 - \alpha = 0.925$.
2. $\alpha = 1 - 0.925 = 0.075$.
3. $\alpha/2 = 0.0375$.
4. Valor acumulado: $1 - 0.0375 = 0.9625$.
Buscamos en la tabla de la Normal estándar:
$$P(Z \le 1.78) = 0.9625 \implies \boxed{z_{\alpha/2} = 1.78}$$
💡 **Tip:** A menor nivel de confianza, menor será el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, el intervalo será más estrecho o necesitaremos menos muestra para el mismo error.
Paso 6
Cálculo del tamaño muestral mínimo
Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{p \cdot q}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$
Sustituimos los valores con la condición $E \lt 0.03$:
$$n \gt \frac{(1.78)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{(0.03)^2}$$
$$n \gt \frac{3.1684 \cdot 0.25}{0.0009}$$
$$n \gt \frac{0.7921}{0.0009} \approx 880.11$$
Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $0.03$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que se cumple la restricción.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{n = 881 \text{ estudiantes}}$$