Programación lineal: Minimización de costes en suplementos alimenticios

**(2.5 puntos) Se quiere elaborar dos suplementos alimenticios UNAL y DOSAL con idea de completar la dieta de ciertos individuos... encuentre la combinación de comprimidos de los dos suplementos que satisfacen las necesidades diarias con el menor coste.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de comprimidos del suplemento **UNAL**. - $y$: número de comprimidos del suplemento **DOSAL**. El objetivo es minimizar el coste total. Según el enunciado, el coste de UNAL es $0.6$ € y el de DOSAL es $1$ €, por lo que la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 0.6x + 1y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, identifica siempre qué cantidades puedes variar (variables) y qué quieres optimizar (función objetivo: costes, beneficios, etc.).

Para organizar la información sobre los aportes nutricionales y los mínimos requeridos, podemos usar una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{UNAL } (x) & \text{DOSAL } (y) & \text{Mínimo diario} \\ \hline \text{Calcio} & 5 & 2 & 10 \\ \hline \text{Proteínas} & 5 & 5 & 20 \\ \hline \text{Calorías} & 1 & 3 & 6 \\ \hline \end{array}$$ Traducimos estas condiciones a un sistema de inecuaciones: 1. **Calcio:** $5x + 2y \ge 10$ 2. **Proteínas:** $5x + 5y \ge 20 \implies x + y \ge 4$ 3. **Calorías:** $x + 3y \ge 6$ 4. **No negatividad:** Como no se pueden tomar cantidades negativas de comprimidos, $x \ge 0$ e $y \ge 0$. 💡 **Tip:** Simplificar las inecuaciones (como en el caso de las proteínas dividiendo entre 5) facilita mucho los cálculos posteriores.

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - **Recta 1 ($r_1$):** $5x + 2y = 10$. Pasa por $(0, 5)$ y $(2, 0)$. - **Recta 2 ($r_2$):** $x + y = 4$. Pasa por $(0, 4)$ y $(4, 0)$. - **Recta 3 ($r_3$):** $x + 3y = 6$. Pasa por $(0, 2)$ y $(6, 0)$. Al ser todas las restricciones del tipo $\ge$, la región factible es la zona no acotada situada por encima de todas las rectas en el primer cuadrante.

Los vértices que pueden ser solución mínima son los puntos de corte de las rectas que limitan la región inferiormente: - **Vértice A:** Intersección de $r_1$ con el eje $y$ ($x=0$): $5(0) + 2y = 10 \implies y = 5$. Punto $\mathbf{A(0, 5)}$. - **Vértice B:** Intersección de $r_1$ y $r_2$: $$\begin{cases} 5x + 2y = 10 \\ x + y = 4 \implies y = 4 - x \end{cases}$$ Sustituyendo: $5x + 2(4 - x) = 10 \implies 3x = 2 \implies x = 2/3$. $y = 4 - 2/3 = 10/3$. Punto $\mathbf{B(2/3, 10/3)}$. - **Vértice C:** Intersección de $r_2$ y $r_3$: $$\begin{cases} x + y = 4 \implies x = 4 - y \\ x + 3y = 6 \end{cases}$$ Sustituyendo: $(4 - y) + 3y = 6 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. $x = 4 - 1 = 3$. Punto $\mathbf{C(3, 1)}$. - **Vértice D:** Intersección de $r_3$ con el eje $x$ ($y=0$): $x + 3(0) = 6 \implies x = 6$. Punto $\mathbf{D(6, 0)}$.

Evaluamos el coste $f(x, y) = 0.6x + y$ en cada vértice para encontrar el mínimo: - $f(A) = f(0, 5) = 0.6(0) + 5 = 5$ € - $f(B) = f(2/3, 10/3) = 0.6(2/3) + 10/3 = (1.2 + 10)/3 = 11.2/3 \approx 3.73$ € - $f(C) = f(3, 1) = 0.6(3) + 1 = 1.8 + 1 = 2.8$ € - $f(D) = f(6, 0) = 0.6(6) + 0 = 3.6$ € El valor mínimo se alcanza en el punto $C(3, 1)$ con un coste de **2.8 euros**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben tomar 3 comprimidos de UNAL y 1 comprimido de DOSAL}}$$ 💡 **Tip:** Aunque la región es no acotada superiormente, el mínimo siempre existirá en uno de los vértices si la función objetivo tiene coeficientes positivos.