Estudio de una función racional: dominio, derivada y recta tangente

**a) (1 punto) Indique el dominio de $f$ y calcule $f'(x)$.** La función $f(x) = x - \dfrac{3x - 1}{x + 1}$ es una función racional (una resta de un polinomio y una fracción algebraica). El dominio de este tipo de funciones está formado por todos los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Por lo tanto, el dominio de la función es todos los reales menos el $-1$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos que no pertenecen al dominio suelen indicar la presencia de asíntotas verticales. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Para calcular $f'(x)$, derivamos cada término por separado. La derivada de $x$ es $1$, y para el segundo término usamos la regla del cociente: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Donde $u = 3x - 1$ y $v = x + 1$. Sus derivadas son $u' = 3$ y $v' = 1$. $$f'(x) = 1 - \left[ \frac{3(x + 1) - (3x - 1)(1)}{(x + 1)^2} \right]$$ $$f'(x) = 1 - \left[ \frac{3x + 3 - 3x + 1}{(x + 1)^2} \right]$$ $$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 1)^2}$$ Podemos simplificar sumando los términos: $$f'(x) = \frac{(x + 1)^2 - 4}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$$ ✅ **Resultado de la derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{2}{3}$.** La pendiente de la recta tangente en un punto $x = a$ es igual al valor de la derivada en ese punto, es decir, $m = f'(a)$. Sustituimos $x = \frac{2}{3}$ en la expresión de $f'(x)$ que obtuvimos anteriormente: $$m = f'\left(\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{4}{\left(\frac{2}{3} + 1\right)^2}$$ Operamos en el denominador: $$\frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} \implies \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$$ Sustituimos: $$m = 1 - \frac{4}{\frac{25}{9}} = 1 - \frac{36}{25}$$ $$m = \frac{25 - 36}{25} = -\frac{11}{25}$$ 💡 **Tip:** La pendiente negativa nos indica que la función es decreciente en ese punto. ✅ **Resultado de la pendiente:** $$\boxed{m = -\frac{11}{25} = -0.44}$$

**c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a dicha gráfica es horizontal.** Una recta es horizontal si su pendiente es cero. Por tanto, debemos buscar los valores de $x$ para los cuales la derivada es igual a cero: $f'(x) = 0$. $$\frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0$$ Para que una fracción sea cero, el numerador debe ser cero (siempre que el denominador no se anule en esos puntos): $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: 1. $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \mathbf{1}$ 2. $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \mathbf{-3}$

Para hallar los puntos completos, debemos calcular la imagen de los valores de $x$ obtenidos en la función original $f(x)$: **Para $x = 1$:** $$f(1) = 1 - \frac{3(1) - 1}{1 + 1} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$$ El primer punto es **$P_1(1, 0)$**. **Para $x = -3$:** $$f(-3) = -3 - \frac{3(-3) - 1}{-3 + 1} = -3 - \frac{-10}{-2} = -3 - 5 = -8$$ El segundo punto es **$P_2(-3, -8)$**. 💡 **Tip:** Cuando te pidan "puntos", siempre debes dar tanto la coordenada $x$ como la $y$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P_1(1, 0) \text{ y } P_2(-3, -8)}$$