Probabilidad y Estadística 2019 Andalucia
Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes
EJERCICIO 3
Para tratar cierta enfermedad, en un hospital se utilizan tres fármacos distintos, A, B y C, administrándose a cada enfermo un solo fármaco. El 30 % de los pacientes es tratado con el fármaco A, el 50 % es tratado con el B y el resto con el fármaco C. La probabilidad de que la enfermedad se cure con el fármaco A es de 0.6, de que se cure con el fármaco B es de 0.8 y de que se cure con el fármaco C es de 0.7. Se elige al azar un paciente de ese hospital con esa enfermedad.
a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que el paciente se cure.
b) (1 punto) Sabiendo que el paciente se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tratado con el fármaco A?
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales y organizamos la información en un diagrama de árbol.
Definimos los sucesos asociados a la elección del fármaco:
- $A$: El paciente es tratado con el fármaco A.
- $B$: El paciente es tratado con el fármaco B.
- $C$: El paciente es tratado con el fármaco C.
Definimos los sucesos asociados al resultado del tratamiento:
- $S$: El paciente se cura (suceso seguro o satisfactorio).
- $\bar{S}$: El paciente no se cura.
Del enunciado extraemos las probabilidades:
- $P(A) = 30\% = 0.3$
- $P(B) = 50\% = 0.5$
- $P(C) = 1 - (0.3 + 0.5) = 0.2$ (ya que el resto son tratados con C)
Las probabilidades condicionadas de curación son:
- $P(S|A) = 0.6 \implies P(\bar{S}|A) = 0.4$
- $P(S|B) = 0.8 \implies P(\bar{S}|B) = 0.2$
- $P(S|C) = 0.7 \implies P(\bar{S}|C) = 0.3$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo punto siempre debe ser igual a 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de curación
**a) (1.5 puntos) Calcule la probabilidad de que el paciente se cure.**
Para calcular la probabilidad total de que un paciente se cure, $P(S)$, debemos sumar las probabilidades de curarse con cada uno de los fármacos. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B) + P(C) \cdot P(S|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos de nuestro diagrama:
- Por el camino del fármaco A: $0.3 \cdot 0.6 = 0.18$
- Por el camino del fármaco B: $0.5 \cdot 0.8 = 0.40$
- Por el camino del fármaco C: $0.2 \cdot 0.7 = 0.14$
Sumamos todos los casos posibles:
$$P(S) = 0.18 + 0.40 + 0.14 = 0.72$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (curarse) depende de varios escenarios previos excluyentes entre sí (fármaco A, B o C).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S) = 0.72}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Sabiendo que el paciente se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tratado con el fármaco A?**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori: la probabilidad de que la causa haya sido el fármaco A sabiendo que el efecto (curación) ya ha ocurrido. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)}$$
Donde:
- $P(A \cap S) = P(A) \cdot P(S|A) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18$ es la probabilidad de ser tratado con A y curarse.
- $P(S) = 0.72$ es la probabilidad total de curación calculada en el apartado anterior.
Calculamos la división:
$$P(A|S) = \frac{0.18}{0.72}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(A|S) = \frac{18}{72} = \frac{1}{4} = 0.25$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'rama' específica entre la probabilidad total de todas las ramas que llevan al mismo resultado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|S) = 0.25}$$