Estimación de la media y tamaño muestral

**a) (1 punto) Obtenga el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la media poblacional con un error de estimación inferior a 2.1 kg y una confianza del 97 %.** Primero, identificamos los parámetros de la población y los requisitos del problema: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 4$. - Error máximo permitido: $E \lt 2.1$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a una confianza del $97\%$: 1. Calculamos $\alpha$: $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$. 2. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Mirando en la tabla, el valor exacto para $0.985$ corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

Utilizamos la fórmula que relaciona el error, el valor crítico y el tamaño de la muestra: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Como queremos que el error sea inferior a $2.1$, planteamos la inecuación: $$2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{n}} \lt 2.1$$ Despejamos el valor de $n$ paso a paso: $$8.68 \lt 2.1 \cdot \sqrt{n} \implies \frac{8.68}{2.1} \lt \sqrt{n}$$ $$4.1333 \dots \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: $$n \gt (4.1333)^2 \implies n \gt 17.0846$$ Dado que el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea realmente inferior al límite establecido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 18}$$

**b) (1.5 puntos) Se toma una muestra aleatoria de 9 árboles, cuyas producciones en kilogramos han sido: 15 120 50 40 5 46 52 48 10 Obtenga el intervalo de confianza al 97 % para estimar la producción media de aguacates por árbol y calcule el error máximo de estimación.** Primero, calculamos la media de la muestra de tamaño $n=9$: $$\bar{x} = \frac{15 + 120 + 50 + 40 + 5 + 46 + 52 + 48 + 10}{9} = \frac{386}{9} \approx 42.8889 \text{ kg}$$ Ahora calculamos el error máximo de estimación $E$ para este caso concreto. Usamos el mismo valor crítico $z_{\alpha/2} = 2.17$ que en el apartado anterior, ya que la confianza sigue siendo del $97\%$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{4}{\sqrt{9}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8.68}{3} \approx 2.8933 \text{ kg}$$ 💡 **Tip:** El error máximo depende directamente de la confianza y la dispersión de los datos, e inversamente de la raíz del tamaño de la muestra. ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E \approx 2.8933 \text{ kg}}$$

El intervalo de confianza para la media poblacional se define como: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$I.C. = (42.8889 - 2.8933, \quad 42.8889 + 2.8933)$$ $$I.C. = (39.9956, \quad 45.7822)$$ Esto significa que podemos afirmar, con una seguridad del $97\%$, que la producción media real de todos los árboles de la comarca está comprendida entre estos dos valores. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (39.9956, 45.7822)}$$