Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) (1.5 puntos) Justifique que la matriz $A$ tiene inversa y calcule $A^{-1}$.** Para justificar que una matriz cuadrada $A$ tiene inversa, debemos comprobar que su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)] - [3 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [-2 - 3 - 1] - [6 + 1 - 1] = -6 - 6 = -12$$ Como $|A| = -12 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y, por lo tanto, **tiene inversa**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o no singular) si y solo si su determinante es diferente de cero.

Para calcular $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^T$$ Primero, calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 1) = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 3) = -2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 3 = -4$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 1) = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 6 = -7$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 3) = 4$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & 0 & -3 \\ -2 & -4 & 2 \\ -7 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Ahora trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^T = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -7 \\ 0 & -4 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por $\frac{1}{|A|} = \frac{1}{-12}$: $$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -3 & -2 & -7 \\ 0 & -4 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Podemos dejarla expresada así o simplificar las fracciones: ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & 1/6 & 7/12 \\ 0 & 1/3 & -1/3 \\ 1/4 & -1/6 & -1/12 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Calcule, si existe, la matriz $X$ que satisface la ecuación matricial $A \cdot X = B$.** Para despejar $X$ en la ecuación $A \cdot X = B$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos lados de la igualdad: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B$$ $$X = A^{-1} \cdot B$$ Como ya hemos calculado $A^{-1}$ en el apartado anterior y sabemos que existe, podemos hallar $X$ realizando el producto de matrices: $$X = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -3 & -2 & -7 \\ 0 & -4 & 4 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: $$X = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} (-3) \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + (-7) \cdot 0 \\ 0 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 + 4 \cdot 0 \\ (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -6 - 6 + 0 \\ 0 - 12 + 0 \\ -6 + 6 + 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -12 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento por $-12$: ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar a $B$ también por la izquierda.