Estudio de una función polinómica de tercer grado

**a) (0.75 puntos) Estudie su monotonía y halle sus extremos relativos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$: $$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 = x^2 - 4x + 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. Los puntos críticos donde la función puede cambiar de monotonía son aquellos donde $f'(x) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{4+2}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{4-2}{2} = 1$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x=1$ y $x=3$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \text{Creciente } (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente } (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente } (\nearrow) \end{array}$$ Calculamos las coordenadas $y$ de los extremos: - Para $x=1$: $f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ - Para $x=3$: $f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Creciente en } (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \text{ y decreciente en } (1, 3) \\ \text{Máximo relativo en } (1, 7/3) \\ \text{Mínimo relativo en } (3, 1) \end{matrix}}$$

**b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. Calcule su punto de inflexión.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = x^2 - 4x + 3$: $$f''(x) = 2x - 4$$ Buscamos los posibles puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$ 💡 **Tip:** El signo de $f''(x)$ nos indica la curvatura: si es positivo es convexa ($\cup$) y si es negativo es cóncava ($\cap$). Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \text{Cóncava } (\cap) & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ Calculamos la ordenada del punto de inflexión: $f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2) + 1 = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Cóncava en } (-\infty, 2) \text{ y convexa en } (2, +\infty) \\ \text{Punto de Inflexión en } (2, 5/3) \end{matrix}}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** La pendiente $m$ de la recta tangente a la función en un punto $x=a$ coincide con el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $m = f'(a)$. En este caso, nos piden la pendiente en $x=0$. Usamos la función derivada que calculamos en el apartado a): $$f'(x) = x^2 - 4x + 3$$ Sustituimos $x=0$: $$m = f'(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3}$$

**d) (0.5 puntos) Calcule $\int f(x) dx$.** Para calcular la integral de la función polinómica, aplicamos la regla de integración de potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$\int \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 \right) dx = \frac{1}{3} \int x^3 dx - 2 \int x^2 dx + 3 \int x dx + \int 1 dx$$ Calculamos cada término: - $\frac{1}{3} \int x^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{12}$ - $-2 \int x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2x^3}{3}$ - $3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3x^2}{2}$ - $\int 1 dx = x$ No debemos olvidar la constante de integración $C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int f(x) dx = \frac{x^4}{12} - \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x + C}$$