Probabilidad condicionada, unión e independencia de sucesos

**a) (0.5 puntos) Calcule $P(A \cap B)$.** Para calcular la probabilidad de la intersección, utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ De esta fórmula, podemos despejar $P(A \cap B)$ multiplicando la probabilidad de la condición por la probabilidad del suceso condicionado: $$P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores conocidos del enunciado ($P(B) = 0.4$ y $P(A/B) = 0.25$): $$P(A \cap B) = 0.25 \cdot 0.4 = 0.1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A/B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. La fórmula siempre es la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad del suceso que está en el denominador (la condición). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.1}$$

**b) (1 punto) Calcule $P(A)$ y $P(A \cup B)$.** Primero calculamos $P(A)$. El enunciado nos da la probabilidad de la diferencia $P(A - B) = 0.4$. Sabemos que la probabilidad de que ocurra $A$ pero no $B$ se define como: $$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A)$ de la ecuación: $$P(A) = P(A - B) + P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos ($P(A - B) = 0.4$ y el valor obtenido en el apartado anterior $P(A \cap B) = 0.1$): $$P(A) = 0.4 + 0.1 = 0.5$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, el suceso $A - B$ es la parte del conjunto $A$ que no se solapa con $B$. Por eso, para obtener la probabilidad de todo el conjunto $A$, sumamos esa "luna" ($A-B$) con la intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.5}$$

Una vez que tenemos $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$, podemos aplicar la fórmula general de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.1$$ $$P(A \cup B) = 0.8$$ 💡 **Tip:** Siempre restamos la intersección en la unión porque, al sumar $P(A)$ y $P(B)$, los elementos que están en ambos conjuntos se han sumado dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.8}$$

**c) (1 punto) ¿Son $A$ y $B$ independientes? ¿Son incompatibles?** Dos sucesos son **independientes** si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, se debe cumplir: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.20$$ Comparamos con el valor de la intersección que calculamos en el apartado (a): $$P(A \cap B) = 0.1$$ Como $0.1 \neq 0.2$, entonces $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Conclusión 1:** $$\boxed{\text{A y B NO son independientes (son dependientes)}}$$

Dos sucesos son **incompatibles** (o mutuamente excluyentes) si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, su intersección es el conjunto vacío y su probabilidad es cero: $$P(A \cap B) = 0$$ En nuestro caso: $$P(A \cap B) = 0.1 \neq 0$$ Como la probabilidad de la intersección no es cero, los sucesos pueden ocurrir simultáneamente. 💡 **Tip:** No confundas independencia con incompatibilidad. Si dos sucesos son incompatibles y tienen probabilidad distinta de cero, obligatoriamente son dependientes (porque si ocurre uno, la probabilidad de que ocurra el otro pasa a ser cero). ✅ **Conclusión 2:** $$\boxed{\text{A y B NO son incompatibles (son compatibles)}}$$