Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Construya un intervalo de confianza al 95 % para la proporción de personas jubiladas que realizan alguna actividad física en ese distrito.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $320$ - Personas que realizan actividad física ($x$): $96$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{96}{320} = 0.3$$ Calculamos la proporción complementaria $\hat{q}$ (personas que no realizan actividad física): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n > 30$), la proporción muestral sigue una distribución normal.

Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{320}}$$ $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{320}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.00065625} \approx 1.96 \cdot 0.025617 \approx 0.0502$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.3 - 0.0502 = 0.2498$ - Extremo superior: $0.3 + 0.0502 = 0.3502$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.2498, \, 0.3502)}$$ *(Esto significa que, con una confianza del 95%, la verdadera proporción de jubilados que hacen ejercicio está entre el 24.98% y el 35.02%)*

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral, halle el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 0.1 con un nivel de confianza del 98 %.** Para el nuevo nivel de confianza del $98\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.98$: $$\alpha = 1 - 0.98 = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor más próximo a $0.99$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} \approx 2.33}$$ 💡 **Tip:** Algunos estudiantes usan $2.325$ (interpolación), pero en los exámenes de Selectividad suele aceptarse $2.33$ como el valor estándar para el 98%.

Queremos que el error $E$ sea inferior a $0.1$. Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt 0.1$$ Para hallar $n$, despejamos de la desigualdad: $$\sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt \frac{0.1}{z_{\alpha/2}} \implies \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \lt \left( \frac{0.1}{z_{\alpha/2}} \right)^2$$ $$n \gt \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{0.1^2}$$ Sustituimos los valores ($\hat{p} = 0.3$, $\hat{q} = 0.7$, $z_{\alpha/2} = 2.33$): $$n \gt \frac{(2.33)^2 \cdot 0.3 \cdot 0.7}{0.01} = \frac{5.4289 \cdot 0.21}{0.01}$$ $$n \gt \frac{1.140069}{0.01} = 114.0069$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $114.0069$ para que el error sea **inferior** a $0.1$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 115 \text{ personas}}$$