Optimización de producción: Camisetas lisas y estampadas

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos calcular. Definimos las variables: - $x$: número de camisetas **lisas** a fabricar. - $y$: número de camisetas **estampadas** a fabricar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada lisa aporta 5€ y cada estampada 4€, por lo que la función de beneficio es: $$B(x, y) = 5x + 4y$$ 💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada incógnita y cuál es la función que quieres maximizar o minimizar.

Traducimos las limitaciones del enunciado en desigualdades matemáticas: 1. **Algodón:** $70x + 60y \le 4200$ (disponemos de un máximo de 4200 g). 2. **Poliéster:** $20x + 10y \le 800$ (disponemos de un máximo de 800 g). 3. **Mínimo de estampadas:** $y \ge 10$ (debe fabricar al menos 10). 4. **Relación entre tipos:** $2y \ge x$ (el doble de estampadas al menos igual a las lisas). 5. **No negatividad:** $x \ge 0$ (aunque la restricción $2y \ge x$ con $y \ge 10$ ya implica $x \ge 0$, siempre es bueno indicarlo). Simplificamos las inecuaciones para trabajar más cómodamente: - Algodón: $7x + 6y \le 420$ - Poliéster: $2x + y \le 80$

Dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible (zona donde se cumplen todas las condiciones): - $r_1: 7x + 6y = 420$ (Puntos: $(0, 70)$ y $(60, 0)$) - $r_2: 2x + y = 80$ (Puntos: $(0, 80)$ y $(40, 0)$) - $r_3: y = 10$ (Recta horizontal) - $r_4: x = 2y$ (Pasa por $(0,0)$ y $(40,20)$) La región factible es el polígono sombreado cuyos vértices evaluaremos a continuación.

Calculamos los puntos de corte que delimitan la zona sombreada: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $y=10 \implies \mathbf{A(0, 10)}$ - **Vértice B:** Intersección de $x=0$ y $7x+6y=420$. Si $x=0, 6y=420 \implies y=70 \implies \mathbf{B(0, 70)}$. Comprobamos que cumple $2x+y \le 80$ ($0+70 \le 80$, sí). - **Vértice C:** Intersección de $7x+6y=420$ y $2x+y=80$. Despejamos $y$ en la segunda: $y = 80 - 2x$. Sustituimos en la primera: $7x + 6(80 - 2x) = 420 \implies 7x + 480 - 12x = 420 \implies -5x = -60 \implies x=12$. Calculamos $y$: $y = 80 - 2(12) = 56 \implies \mathbf{C(12, 56)}$. - **Vértice D:** Intersección de $2x+y=80$ y $x=2y$. $2(2y) + y = 80 \implies 5y = 80 \implies y=16$. Calculamos $x$: $x = 2(16) = 32 \implies \mathbf{D(32, 16)}$. - **Vértice E:** Intersección de $y=10$ y $x=2y$. $x = 2(10) = 20 \implies \mathbf{E(20, 10)}$.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 5x + 4y$ en cada uno de los vértices obtenidos: - $B(0, 10) = 5(0) + 4(10) = 40\text{ €}$ - $B(0, 70) = 5(0) + 4(70) = 280\text{ €}$ - $B(12, 56) = 5(12) + 4(56) = 60 + 224 = \mathbf{284\text{ €}}$ - $B(32, 16) = 5(32) + 4(16) = 160 + 64 = 224\text{ €}$ - $B(20, 10) = 5(20) + 4(10) = 100 + 40 = 140\text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $(12, 56)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe fabricar 12 camisetas lisas y 56 estampadas para un beneficio máximo de 284 euros}}$$