Estudio completo de una función polinómica: tangentes, monotonía, curvatura e integrales

Para resolver los apartados de tangentes, monotonía y curvatura, primero calculamos la primera y segunda derivada de la función $f(x) = x^3 - 9x + 2$. Derivamos término a término: $$f'(x) = 3x^2 - 9$$ $$f''(x) = 6x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$, el exponente baja multiplicando y se resta uno al grado: $(x^n)' = n x^{n-1}$. La derivada de una constante es cero.

**a) (1 punto) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta $y = 3x - 3$.** Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta dada $y = 3x - 3$ es $m = 3$. La pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en un punto $x$ viene dada por el valor de su derivada $f'(x)$. Por tanto, igualamos la derivada a la pendiente deseada: $$f'(x) = 3 \implies 3x^2 - 9 = 3$$ Resolvemos la ecuación para encontrar los puntos de tangencia: $$3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Tenemos dos posibles valores para $x$: 1. Si $x_1 = 2$: Calculamos su imagen $f(2) = 2^3 - 9(2) + 2 = 8 - 18 + 2 = -8$. El punto de tangencia es **$(2, -8)$**. 2. Si $x_2 = -2$: Calculamos su imagen $f(-2) = (-2)^3 - 9(-2) + 2 = -8 + 18 + 2 = 12$. El punto de tangencia es **$(-2, 12)$**. 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en $x=a$ es siempre $f'(a)$.

Utilizamos la fórmula punto-pendiente: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$, donde $f'(a) = 3$. - Para el punto $(2, -8)$: $$y - (-8) = 3(x - 2) \implies y + 8 = 3x - 6 \implies y = 3x - 14$$ - Para el punto $(-2, 12)$: $$y - 12 = 3(x - (-2)) \implies y - 12 = 3(x + 2) \implies y - 12 = 3x + 6 \implies y = 3x + 18$$ ✅ **Resultado (rectas tangentes):** $$\boxed{y = 3x - 14 \quad y \text{ } y = 3x + 18}$$

**b) (1 punto) Estudie la monotonía y la curvatura de la función $f$.** Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 3x^2 - 9 = 0 \implies 3(x^2 - 3) = 0 \implies x = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1.73$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -\sqrt{3})$ y $(\sqrt{3}, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. 💡 **Tip:** Para saber el signo, toma un valor de prueba en cada intervalo, por ejemplo: $f'(-2)=3 \gt 0$, $f'(0)=-9 \lt 0$ y $f'(2)=3 \gt 0$.

Para la curvatura, igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por el punto de inflexión candidato: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline f''(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** (o cóncava hacia abajo). - En $(0, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** (o cóncava hacia arriba). ✅ **Resultado (Monotonía y Curvatura):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty); \text{ Decreciente: } (-\sqrt{3}, \sqrt{3})}$$ $$\boxed{\text{Cóncava: } (-\infty, 0); \text{ Convexa: } (0, +\infty)}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule $\int f(x) dx$.** Integramos la función polinómica término a término: $$\int (x^3 - 9x + 2) dx = \int x^3 dx - 9 \int x dx + \int 2 dx$$ Aplicamos la regla de integración de potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$$ $$-9 \int x dx = -9 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{9x^2}{2}$$ $$\int 2 dx = 2x$$ Sumamos los resultados e incluimos la constante de integración $C$: ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int f(x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{9x^2}{2} + 2x + C}$$