Probabilidad y Estadística 2019 Andalucia
Probabilidad de alojamiento turístico: Capital vs Rural
EJERCICIO 3
El 65 % de los turistas que visitan una provincia elige alojamientos en la capital y el resto en zonas rurales. Además, el 75 % de los turistas que se hospedan en la capital y el 15 % de los que se hospedan en zonas rurales, lo hacen en hoteles, mientras que el resto lo hace en apartamentos turísticos. Se elige al azar un turista de los que se han alojado en esa provincia.
a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel?
b) (1 punto) Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento turístico, ¿cuál es la probabilidad de que el apartamento esté en zonas rurales?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen:
- $C$: El turista se aloja en la capital.
- $R$: El turista se aloja en zonas rurales.
- $H$: El turista se aloja en un hotel.
- $A$: El turista se aloja en un apartamento turístico.
Del enunciado extraemos los datos de probabilidad:
- $P(C) = 0,65$
- $P(R) = 1 - 0,65 = 0,35$ (el resto elige zonas rurales).
- $P(H|C) = 0,75$ $\implies$ $P(A|C) = 1 - 0,75 = 0,25$
- $P(H|R) = 0,15$ $\implies$ $P(A|R) = 1 - 0,15 = 0,85$
Representamos esta información en un **árbol de probabilidad**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de hospedarse en un hotel
**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en un hotel?**
Para calcular la probabilidad total de que un turista se hospede en un hotel $P(H)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar las probabilidades de llegar al suceso $H$ a través de todos los caminos posibles (capital o zona rural):
$$P(H) = P(C) \cdot P(H|C) + P(R) \cdot P(H|R)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(H) = 0,65 \cdot 0,75 + 0,35 \cdot 0,15$$
$$P(H) = 0,4875 + 0,0525$$
$$P(H) = 0,54$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H) = 0,54}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1 punto) Si se sabe que se ha hospedado en un apartamento turístico, ¿cuál es la probabilidad de que el apartamento esté en zonas rurales?**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori: la probabilidad de que el turista esté en zona rural ($R$) dado que sabemos que se aloja en un apartamento ($A$). Esto se resuelve con el **Teorema de Bayes**:
$$P(R|A) = \frac{P(R \cap A)}{P(A)}$$
Primero calculamos $P(A)$. Como el turista o bien se aloja en un hotel o bien en un apartamento, podemos usar el suceso contrario de $P(H)$:
$$P(A) = 1 - P(H) = 1 - 0,54 = 0,46$$
Ahora calculamos el numerador $P(R \cap A)$ usando el árbol:
$$P(R \cap A) = P(R) \cdot P(A|R) = 0,35 \cdot 0,85 = 0,2975$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(R|A) = \frac{0,2975}{0,46} \approx 0,6467$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona una condición conocida (el efecto) con su posible origen (la causa).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R|A) = 0,6467}$$