Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 97 % para la proporción de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Individuos que votan al partido: $x = 135$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementario ($\hat{q}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{135}{300} = 0.45$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.45 = 0.55$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de la muestra que cumple la condición, y $\hat{q}$ es el porcentaje que no la cumple. Siempre debe cumplirse que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9850$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación, aunque en este caso $0.9850$ aparece exactamente.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.45 \cdot 0.55}{300}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2475}{300}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.000825} \approx 2.17 \cdot 0.028723 \approx 0.0623$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.45 - 0.0623 = 0.3877$ - Extremo superior: $0.45 + 0.0623 = 0.5123$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.3877, \, 0.5123)}$$

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 2 %.** Datos para este apartado: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.45$ y $\hat{q} = 0.55$ - Valor crítico (97 %): $z_{\alpha/2} = 2.17$ - Error máximo: $E \lt 0.02$ (ya que el 2 % expresado en tanto por uno es 0.02) La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Queremos que $E \lt 0.02$, por lo que despejamos $n$ de la desigualdad: $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt 0.02 \implies \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt \frac{0.02}{z_{\alpha/2}}$$ $$\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \lt \left( \frac{0.02}{z_{\alpha/2}} \right)^2 \implies n \gt \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ 💡 **Tip:** Al despejar $n$ en problemas de tamaño muestral, siempre terminamos con una expresión donde $n$ es mayor que un valor, lo que nos obliga a redondear siempre al siguiente número entero superior.

Sustituimos los valores en la expresión despejada: $$n \gt \frac{2.17^2 \cdot 0.45 \cdot 0.55}{0.02^2}$$ $$n \gt \frac{4.7089 \cdot 0.2475}{0.0004}$$ $$n \gt \frac{1.16545275}{0.0004}$$ $$n \gt 2913.63$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $2913.63$ para que el error sea inferior al 2 %: ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 2914 \text{ individuos}}$$