Simetría, matriz inversa y resolución de una ecuación matricial

**a) (0.5 puntos) Razone si la matriz $A$ es simétrica.** Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir, si $A = A^t$. Esto implica que los elementos en posiciones simétricas respecto a la diagonal principal deben ser iguales ($a_{ij} = a_{ji}$). Calculamos la traspuesta de $A$ intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Comparemos los elementos de $A$ y $A^t$: - $a_{23} = -1$ - $a_{32} = 1$ Como $a_{23} \neq a_{32}$, entonces $A \neq A^t$. 💡 **Tip:** Basta con encontrar un par de elementos fuera de la diagonal que no coincidan al reflejarlos para afirmar que no es simétrica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ no es simétrica pues } A \neq A^t}$$

**b) (1 punto) Calcule $A^{-1}$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1\cdot 2\cdot 1 + (-2)\cdot (-1)\cdot 0 + 0\cdot (-2)\cdot 1] - [0\cdot 2\cdot 0 + 1\cdot (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot (-2)\cdot 1]$$ $$|A| = [2 + 0 + 0] - [0 - 1 + 4]$$ $$|A| = 2 - 3 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 4 = -2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la inversa dividiendo por el determinante ($|A| = -1$): $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Resuelva la ecuación matricial $2X \cdot A - A^2 - 3I_3 = O$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$: $$2X \cdot A = A^2 + 3I_3$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ en ambos miembros (el orden es vital en matrices): $$2X \cdot A \cdot A^{-1} = (A^2 + 3I_3) \cdot A^{-1}$$ $$2X \cdot I_3 = A^2 \cdot A^{-1} + 3I_3 \cdot A^{-1}$$ $$2X = A + 3A^{-1}$$ Finalmente: $$X = \frac{1}{2} (A + 3A^{-1})$$ 💡 **Tip:** Es mucho más rápido simplificar la expresión algebraicamente que calcular $A^2$ por separado. Recuerda que $A^2 \cdot A^{-1} = A$ y $I \cdot A^{-1} = A^{-1}$.

Calculamos la suma $A + 3A^{-1}$: $$3A^{-1} = 3 \begin{pmatrix} -3 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & -6 & -6 \\ -6 & -3 & -3 \\ 6 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$ $$A + 3A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -9 & -6 & -6 \\ -6 & -3 & -3 \\ 6 & 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & -8 & -6 \\ -8 & -1 & -4 \\ 6 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $\frac{1}{2}$ para obtener $X$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -8 & -8 & -6 \\ -8 & -1 & -4 \\ 6 & 4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 & -3 \\ -4 & -0.5 & -2 \\ 3 & 2 & 3.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4 & -4 & -3 \\ -4 & -1/2 & -2 \\ 3 & 2 & 7/2 \end{pmatrix}}$$