Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza al 92 % para la media poblacional.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo que tarda un empleado en llegar al trabajo. Sabemos que $X \sim N(\mu, 8)$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos la media de la muestra proporcionada: $$\bar{x} = \frac{10 + 17 + 8 + 27 + 6 + 9 + 32 + 5 + 21}{9} = \frac{135}{9} = 15 \text{ minutos}.$$ 💡 **Tip:** La media muestral $\bar{x}$ es el punto central de nuestro intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$. $$\boxed{\bar{x} = 15}$$

Para un nivel de confianza del $92 \%$, tenemos: $1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 0.08 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.04.$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.04 = 0.96.$ Mirando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: - Para $z = 1.75$, la probabilidad es $0.9599$. - Para $z = 1.76$, la probabilidad es $0.9608$. Tomamos el valor más aproximado (o realizamos interpolación si fuera preciso, aunque en Bachillerato se suele tomar el más cercano): $$z_{\alpha/2} \approx 1.75.$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto, elige el más cercano o el punto medio si la diferencia es igual en ambos lados.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Sustituimos los datos: $\bar{x} = 15$, $\sigma = 8$, $n = 9$ y $z_{\alpha/2} = 1.75$: $$E = 1.75 \cdot \frac{8}{\sqrt{9}} = 1.75 \cdot \frac{8}{3} = 1.75 \cdot 2.6667 \approx 4.67.$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $15 - 4.67 = 10.33$ - Límite superior: $15 + 4.67 = 19.67$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (10.33, 19.67)}$$

**b) (1 punto) Con una confianza del 95.5 %, ¿qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5 minutos?** Primero calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95.5 \%$: $1 - \alpha = 0.955 \implies \alpha = 0.045 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0225.$ Buscamos en la tabla: $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0225 = 0.9775.$ En las tablas de la Normal, este valor corresponde exactamente a: $$z_{\alpha/2} = 2.00.$$ 💡 **Tip:** No olvides que si el nivel de confianza cambia, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ debe recalcularse siempre.

La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E < 1.5$. Sustituimos los valores conocidos ($z_{\alpha/2} = 2$, $\sigma = 8$): $$2 \cdot \frac{8}{\sqrt{n}} < 1.5$$ $$\frac{16}{\sqrt{n}} < 1.5 \implies 16 < 1.5 \cdot \sqrt{n} \implies \sqrt{n} > \frac{16}{1.5}$$ $$\sqrt{n} > 10.6667$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n > (10.6667)^2 = 113.78.$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero, redondeamos siempre al siguiente entero superior para garantizar que el error sea **inferior** al propuesto. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 114 \text{ empleados}}$$