Minimización de costes en compra de lotes de fruta

En primer lugar, debemos identificar qué es lo que nos pide el problema para definir las variables de decisión. Definimos: - $x$: número de lotes del **tipo A**. - $y$: número de lotes del **tipo B**. El objetivo es minimizar el coste total. Según el enunciado, cada lote A cuesta 8 € y cada lote B cuesta 10 €. Por tanto, la **función objetivo** será: $$f(x, y) = 8x + 10y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre representan las cantidades que podemos controlar para optimizar el resultado (en este caso, la cantidad de lotes).

Para plantear las desigualdades, organizamos la información de los kilos de fruta en una tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Fruta} & \text{Lote A } (x) & \text{Lote B } (y) & \text{Mínimo requerido} \\ \hline \text{Manzanas} & 1 & 4 & 24 \\ \hline \text{Naranjas} & 5 & 2 & 30 \\ \hline \text{Peras} & 1 & 1 & 12 \\ \hline \end{array}$$ De aquí extraemos las restricciones (teniendo en cuenta que la frase "al menos" implica un signo $\ge$): 1. Manzanas: $x + 4y \ge 24$ 2. Naranjas: $5x + 2y \ge 30$ 3. Peras: $x + y \ge 12$ 4. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$ 💡 **Tip:** El signo $\ge$ se utiliza cuando se requiere una cantidad mínima, mientras que $\le$ se usa para límites máximos o disponibilidad.

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar el recinto de soluciones posibles: - $r_1: x + 4y = 24$. Puntos de corte: $(0, 6)$ y $(24, 0)$. - $r_2: 5x + 2y = 30$. Puntos de corte: $(0, 15)$ y $(6, 0)$. - $r_3: x + y = 12$. Puntos de corte: $(0, 12)$ y $(12, 0)$. Como todas las desigualdades son de tipo $\ge$, la región factible es la zona no acotada situada por encima de todas estas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices que delimitan la región factible por abajo son los puntos de intersección de las fronteras. Vamos a calcularlos: - **Vértice A:** Intersección de $r_2$ con el eje $Y$ ($x=0$): $5(0) + 2y = 30 \implies y = 15$. Punto **$A(0, 15)$**. - **Vértice B:** Intersección de $r_2$ ($5x + 2y = 30$) y $r_3$ ($x + y = 12$): Despejamos $y$ en $r_3$: $y = 12 - x$. Sustituimos en $r_2$: $5x + 2(12 - x) = 30 \implies 5x + 24 - 2x = 30 \implies 3x = 6 \implies x = 2$. Si $x=2, y=10$. Punto **$B(2, 10)$**. - **Vértice C:** Intersección de $r_3$ ($x + y = 12$) y $r_1$ ($x + 4y = 24$): Despejamos $x$ en $r_3$: $x = 12 - y$. Sustituimos en $r_1$: $(12 - y) + 4y = 24 \implies 3y = 12 \implies y = 4$. Si $y=4, x=8$. Punto **$C(8, 4)$**. - **Vértice D:** Intersección de $r_1$ con el eje $X$ ($y=0$): $x + 4(0) = 24 \implies x = 24$. Punto **$D(24, 0)$**. $$\boxed{Vértices: A(0, 15), B(2, 10), C(8, 4), D(24, 0)}$$

Evaluamos $f(x, y) = 8x + 10y$ en cada uno de los vértices para encontrar el coste mínimo: - $f(A) = f(0, 15) = 8(0) + 10(15) = 150 \text{ €}$ - $f(B) = f(2, 10) = 8(2) + 10(10) = 16 + 100 = 116 \text{ €}$ - $f(C) = f(8, 4) = 8(8) + 10(4) = 64 + 40 = 104 \text{ €}$ - $f(D) = f(24, 0) = 8(24) + 10(0) = 192 \text{ €}$ El valor mínimo obtenido es de **104 €**, que corresponde a la compra de 8 lotes de tipo A y 4 lotes de tipo B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe comprar 8 lotes de tipo A y 4 de tipo B, con un coste mínimo de 104 euros}}$$