Estudio completo de una función racional

**a) (0,25 puntos) Dominio de $f$.** La función $f(x)$ es una función racional. El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador, ya que la división por cero no está definida. Igualamos el denominador a cero: $$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Por tanto, el dominio son todos los reales excepto $x = -1/2$. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una fracción, el primer paso es identificar qué valores de $x$ hacen que el denominador sea $0$ para excluirlos del dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1/2\}}$$

**b) (0,75 puntos) ¿Para qué valores de $x$ se cumple $f(x) = 5$?** Igualamos la expresión de la función a $5$ y resolvemos para $x$: $$\frac{4x^2 + 4x + 5}{2x + 1} = 5$$ Pasamos el denominador multiplicando al segundo miembro: $$4x^2 + 4x + 5 = 5(2x + 1)$$ $$4x^2 + 4x + 5 = 10x + 5$$ Restamos $5$ en ambos lados y agrupamos términos: $$4x^2 + 4x - 10x = 0$$ $$4x^2 - 6x = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado incompleta: $$2x(2x - 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $2x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$ 2. $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies \mathbf{x = 3/2}$ Ambos valores pertenecen al dominio ($0 \neq -1/2$ y $1.5 \neq -1/2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, \quad x = \frac{3}{2}}$$

**c) (1 punto) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.** **Asíntotas Verticales (A.V.):** Candidato: $x = -1/2$ (valor que anula el denominador). Calculamos el límite: $$\lim_{x \to -1/2} \frac{4x^2 + 4x + 5}{2x + 1} = \frac{4(-1/2)^2 + 4(-1/2) + 5}{2(-1/2) + 1} = \frac{1 - 2 + 5}{0} = \frac{4}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = -1/2$**. 💡 **Tip:** Para confirmar una A.V., el límite en el punto debe dar $\pm\infty$. Si diera $0/0$, habría que simplificar o usar L'Hôpital para ver si es una discontinuidad evitable.

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^2 + 4x + 5}{2x + 1} = \infty$$ Como el grado del numerador ($2$) es mayor que el del denominador ($1$), **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Al ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, existe una A.O. de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 4x + 5}{2x^2 + x} = \frac{4}{2} = 2$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x^2 + 4x + 5}{2x + 1} - 2x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 4x + 5 - 2x(2x + 1)}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 4x + 5 - 4x^2 - 2x}{2x + 1}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 5}{2x + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ La asíntota oblicua es **$y = 2x + 1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = -1/2, \quad \text{A.H.: No hay}, \quad \text{A.O.: } y = 2x + 1}$$

**d) (1,25 puntos) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x^2 + 4x + 5)'(2x + 1) - (4x^2 + 4x + 5)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(8x + 4)(2x + 1) - (4x^2 + 4x + 5)(2)}{(2x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{16x^2 + 8x + 8x + 4 - 8x^2 - 8x - 10}{(2x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{8x^2 + 8x - 6}{(2x + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$8x^2 + 8x - 6 = 0 \implies 4x^2 + 4x - 3 = 0$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{2(4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos y el punto de discontinuidad del dominio ($x = -1/2$): $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -3/2) & -3/2 & (-3/2, -1/2) & -1/2 & (-1/2, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \end{array} $$ - En $(-\infty, -3/2)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(-3/2, -1/2)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(-1/2, 1/2)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(1/2, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -3/2) \cup (1/2, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-3/2, -1/2) \cup (-1/2, 1/2)}$$