Sistema de ecuaciones: Distribución de habitaciones de un hotel

Lo primero que debemos hacer en un problema de sistemas de ecuaciones es identificar qué nos preguntan y asignar una incógnita a cada valor desconocido. Llamaremos: - $x$: número de habitaciones **individuales** (1 persona por habitación). - $y$: número de habitaciones **dobles** (2 personas por habitación). - $z$: número de habitaciones **familiares** (4 personas por habitación). 💡 **Tip:** Es fundamental definir bien las variables al principio para que el planteamiento de las ecuaciones sea coherente.

A partir del enunciado, traducimos el lenguaje natural a lenguaje algebraico: 1. **Total de habitaciones:** El hotel tiene 144 habitaciones en total: $$x + y + z = 144$$ 2. **Capacidad total:** El hotel tiene capacidad para 312 personas. Multiplicamos cada tipo de habitación por el número de personas que admite: $$1x + 2y + 4z = 312$$ 3. **Relación entre habitaciones:** El número de habitaciones dobles ($y$) es igual al triple de la suma de las individuales ($x$) y familiares ($z$): $$y = 3(x + z)$$ Reorganizando la tercera ecuación ($y = 3x + 3z \Rightarrow -3x + y - 3z = 0$), el sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = 144 \\ x + 2y + 4z = 312 \\ -3x + y - 3z = 0 \end{cases}$$

Dado que la tercera ecuación ya nos da una relación directa para $y$, utilizaremos el método de sustitución, que suele ser muy claro para estos casos. Sustituimos $y = 3(x + z)$ en las otras dos ecuaciones: **En la primera ecuación:** $$x + [3(x+z)] + z = 144$$ $$x + 3x + 3z + z = 144$$ $$4x + 4z = 144$$ Dividiendo toda la ecuación entre 4 para simplificar: $$x + z = 36 \quad \text{(Ecuación A)}$$ **En la segunda ecuación:** $$x + 2[3(x+z)] + 4z = 312$$ $$x + 6x + 6z + 4z = 312$$ $$7x + 10z = 312 \quad \text{(Ecuación B)}$$ Ahora tenemos un sistema más pequeño de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ y $z$).

Resolvemos el sistema de las ecuaciones A y B: $$\begin{cases} x + z = 36 \\ 7x + 10z = 312 \end{cases}$$ De la ecuación A despejamos $x$: $x = 36 - z$. Sustituimos en la ecuación B: $$7(36 - z) + 10z = 312$$ $$252 - 7z + 10z = 312$$ $$3z = 312 - 252$$ $$3z = 60 \implies z = \frac{60}{3} = 20$$ Ahora calculamos $x$: $$x = 36 - 20 = 16$$ Finalmente, calculamos $y$ usando la relación del paso 2: $$y = 3(x + z) = 3(16 + 20) = 3(36) = 108$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene verificar los resultados en las ecuaciones originales. $16+108+20 = 144$ (Correcto).

Una vez hallados los valores de las incógnitas, redactamos la respuesta en el contexto del problema: - Número de habitaciones individuales ($x$): **16** - Número de habitaciones dobles ($y$): **108** - Número de habitaciones familiares ($z$): **20** ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{16 individuales, 108 dobles y 20 familiares}}$$